数学
高校生
解決済み

この問題の80C=27a+5bの所までは理解出来たのですが、そこから、マーカー部分の場合分けが分からないです。どこから、C=1などが出てきたのですか?
解説お願いします🙇‍♀️

37 自然数 Nを6進法,9進法で表すと,それぞれ3桁の数 abc6, cab9) となる。このとき, Nを 10 進法で表せ。 h進法で最された数 危他の期字はハ-1 以下. aキ0,e40 /sa=5, 0¢bきち , /s045 a6+ b61 C= 5×下 C9°ta9+ b90 36at6bC-810C+9a +b <o進こえ 統-して ニ 等いとおく。 0 - 80C-29a-5b
37 自然数 Nを6進法で表すと,abc(6) となるので 10 進法で表すと N=6°a+66+c であり, 1SaS5, 0<b55, 0Sc5 である。 自然数Nを9進法で表すと, cab9) となるので、 10 進法で表すと N=9°c+9a+6であり, 1ScS8,0<am 8, 0<bハ8 である。 ゆえに,a, b, cは整数で, 1<a\5, 0<b<5, CHOT -0 1ScS5 であり 6°a+66+c=9°c+9a+6 よって 27a+56= 80c (i) c=1 のとき,27a+56=80 より 27 b= 16- -a …D 5° bは整数より,aは5の倍数となり 1Sa<5 より,a=5 でなければならない。 このとき,Oより 6=-11 0Sb55 より,不適。 (i) c=2 のとき,27a+56= 160 より 6= 32- 27 a 5° bは整数よりaは5の倍数となり, 1SaS5 よ り,a=5 でなければならない。 このとき,2より 6=5 0<b55 より適する。 () c23 のとき, 27a+56> 240 より 27 6248-4 1SaS5 だから, (i), (i)と同様に a=5 を考 えると,3より b221 となり,0<b55より, 不適。 以上(i)~価)より(a, b, c) = (5, 5, 2) ゆえに N=5×6°+5×6+2= 212

回答

✨ ベストアンサー ✨

a,b,cは6進法で表せる以上1から5までの数字となります。
27a+5b=80c
という等式まで持ってきたあと、この等式を満たすようなa, b, cを見つけるわけですが、このままだと文字が多すぎて無理です。だから、cは1から5の5つの整数のどれかであるという範囲の条件から、具体的に代入していっています。こうすることで、文字が2つに減るからです。この方針で、c=1, 2, 3と代入していくと、c=3を越えたらいけないことが、a, bの範囲の条件からわかるので、c≧3のとき不適としています。

ブドウくん

個人的には
27a=80b-5c=5(16b-c)
という変形をする方が賢いと思います。なぜなら、こうすることでaの値が決まるからです。
右辺が5(16b-c)なので5を素因数にもつことがわかります。一方、27は3の3乗なので3しか素因数にもたないので、左辺に5を持たせようと思うとa=5しかありません。
この時点で16c-b=27とわかるので
b=16c-27と変形すれば
1≦b≦5となるようなcはc=2のみだとわかります。

アカリ

こっちの説明がとても分かりやすかったです。ありがとうございます🙇‍♀️
もうひとつ質問があって、n進法は普段の生活で使わない数字の表し方なので、イメージがつかないので苦手です。
今回の問題でも、n進法で表された数の各位の数字は何故n-1何ですか?

ブドウくん

10進法も0から9なのでそういう意味では各位にくる最高の数は10-1=9ですが、数字の数でいうと0から9までは10個あるので10進法と言ってもおかしくないわけです。そう考えたら6進法だって0から5となるのは納得できるんじゃないでしょうか。
確かに、取っつきにくいのはわかります。大切なのは、普段使っている数字をきちんと10進法と捉えて使えているかだと思います。例えば中学校の時に簡単に「3桁の数は100a+10b+cと置くんだよ」と教わりますが、これは10進法だから
10^2 a + 10^1 b + 10^0 c (^n=n乗)
と表せていると理解していたら、5進法だろうと25a+5b+cと表せるのは当たり前だと思えると思います。分数や小数になってもこれは同じことです。だから、わからなくなったら10進法に戻って考えてみるというのは有効だと思います。

実践的な話をすると、もちろん四則演算も大切ですが、試験のことを考えたら進法から5進法、10進法から4進法みたいに行き来できることが一番大事だと思います。共通テスト(センター試験)でも頻繁ではないですが出てきますし、2次試験でもたまに出ています。
整数問題は、上でやったような約数倍数から絞る他に、「範囲から絞る」というやり方が結構有効なことが多いです。n進法にはもともと6進法なら0から5のように範囲がついているので、方針がたてやすかったり、とりあえず10進法に変換してみたり、やれることが多いです。僕も1年生のときはよくわからなくて嫌いだったのですが、ちゃんとやれば大したことないので、けっこうお得だと思います。

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