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a,b,cは6進法で表せる以上1から5までの数字となります。
27a+5b=80c
という等式まで持ってきたあと、この等式を満たすようなa, b, cを見つけるわけですが、このままだと文字が多すぎて無理です。だから、cは1から5の5つの整数のどれかであるという範囲の条件から、具体的に代入していっています。こうすることで、文字が2つに減るからです。この方針で、c=1, 2, 3と代入していくと、c=3を越えたらいけないことが、a, bの範囲の条件からわかるので、c≧3のとき不適としています。
こっちの説明がとても分かりやすかったです。ありがとうございます🙇♀️
もうひとつ質問があって、n進法は普段の生活で使わない数字の表し方なので、イメージがつかないので苦手です。
今回の問題でも、n進法で表された数の各位の数字は何故n-1何ですか？
10進法も0から9なのでそういう意味では各位にくる最高の数は10-1=9ですが、数字の数でいうと0から9までは10個あるので10進法と言ってもおかしくないわけです。そう考えたら6進法だって0から5となるのは納得できるんじゃないでしょうか。
確かに、取っつきにくいのはわかります。大切なのは、普段使っている数字をきちんと10進法と捉えて使えているかだと思います。例えば中学校の時に簡単に「3桁の数は100a+10b+cと置くんだよ」と教わりますが、これは10進法だから
10^2 a + 10^1 b + 10^0 c (^n=n乗)
と表せていると理解していたら、5進法だろうと25a+5b+cと表せるのは当たり前だと思えると思います。分数や小数になってもこれは同じことです。だから、わからなくなったら10進法に戻って考えてみるというのは有効だと思います。
実践的な話をすると、もちろん四則演算も大切ですが、試験のことを考えたら進法から5進法、10進法から4進法みたいに行き来できることが一番大事だと思います。共通テスト(センター試験)でも頻繁ではないですが出てきますし、2次試験でもたまに出ています。
整数問題は、上でやったような約数倍数から絞る他に、「範囲から絞る」というやり方が結構有効なことが多いです。n進法にはもともと6進法なら0から5のように範囲がついているので、方針がたてやすかったり、とりあえず10進法に変換してみたり、やれることが多いです。僕も1年生のときはよくわからなくて嫌いだったのですが、ちゃんとやれば大したことないので、けっこうお得だと思います。
個人的には
27a=80b-5c=5(16b-c)
という変形をする方が賢いと思います。なぜなら、こうすることでaの値が決まるからです。
右辺が5(16b-c)なので5を素因数にもつことがわかります。一方、27は3の3乗なので3しか素因数にもたないので、左辺に5を持たせようと思うとa=5しかありません。
この時点で16c-b=27とわかるので
b=16c-27と変形すれば
1≦b≦5となるようなcはc=2のみだとわかります。