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例題 112 接線に関する軌跡
Ct★★★★☆
メ放物線 ソ=x? 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q°) における接線をそれぞれl,
6とし、その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき,
点Rの軌跡を求めよ。
(類名城大)
一例題108
E 6. bの方程式から交点Rの座標 (x, y) を求めると, x とyはともにか, qの式で表される。
したがって,方針は
つなぎの文字p, qを消去する
3章
そこで用いるのは
2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1
18
答案 x軸に垂直な接線は考えられないから,l,の傾きを m
とすると,その方程式は
P.
yーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が
x=m(x-p)+が
P(b, が)| Qq, g'),
これと y=x° を連立して
整理すると
0
l2
x°-mx+mp-が=0
か
x
この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると
D=(-m)?-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2か)°
R
(m-2p)?=0
したがって,6の方程式は
eiliをる
D=0 から
よって
m=2p
ソ=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が
同様にして,2の方程式は
ソ=2qx-q°
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式 0, ② の解である。
2(カ-q)x=(か+qg)(カ-g)
40でかをqに
おき換える。
2
yを消去して整理すると
その
交が考左の答案は
今までに学習した
知識のみを用いて
接線の方程式を求
めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章微
3 の解である。分法を参照)。
pキqであるから
X=
2
-D+q
(X,5)
これをOに代入して
ソ=2か -がーq
2
lille から
2p-2q=-1
よって
ソ= pq=-
4
1
-=0
また,p, qは2次方程式 t-2xt -
3の判別式をD' とすると
D'
1
よって
D'>0
x+
4
逆の確認。
ゆえに,任意のxに対して実数p, q(カキq)が存在する。
したがって,求める軌跡は
直線 y=ー
1
4
軌跡と方程式
点Rの軌跡はy=-4分の1となるので、必要ないのかなと思ったのですが、この解答のx座標を求めている時点ではまだ軌跡はどうなるか分からないから求めるって感じですか？