基本 例題30 同じ数字を含む順列
341
1,2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚,3枚, 4枚ある。これらのカー
ドから4枚を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。
指針>同じ数字のカードが何枚かあり (しかし,その枚数には制限がある), そこから整数を作る
問題では,まず 作ることができる整数のタイプを考える。
基本 28
大問では,使うことができる数字の制限から,次の4つのタイプに分けることができる。
よって、求めるAAAA,
8S AAAB,
AABB,
AABC <の絶4合わせ
A, B, Cは1,2, 3のいずれかを表す。
このタイプ別に整数の個数を考える。
AAAA.AAABEょうのは
並び方で2てなく組分かせの話?
解答
1,2,3のいずれかをA, B, Cで表す。ただし, A, B, Cは
すべて異なる数字とする。
次の[1]~[4]のいずれかの場合が考えられる。
『] AAAA のタイプ。つまり, 同じ数字を4つ含むとき。
4枚ある数字は3だけであるから7.(1個 -(
『 2] AAAB のタイプ。つまり, 同じ数字を3つ含むとき。
3枚以上ある数字は 2,3であるから, Aの選び方は 2通り
Aにどれを選んでも,Bの選び方は
組
合
せ
▲ 3333 だけ。
2通り
|222口 (口は1, 3)
4!
または
そのおのおのについて,並べ方は
=4(通り)
3!
333口(口は1, 2)
よって,このタイプの整数は
『[3] AABB のタイプ。
つまり,同じ数字2つを2組含むとき。
1,2, 3 すべて2枚以上あるから,A, B の選び方は sCz 通り
2×2×4=16(個)
(1122, 1133, 2233
(1, 2, 3 から使わない数を
1つ選ぶと考えて、 sCi 通
の
4!-6(通り)
2!2!
りとしてもよい。
そのおのおのについて, 並べ方は
3C2×6=18(個)
4C2=C=3
よって,このタイプの整数は
『[4] AABC のタイプ。
A (S)
つまり,同じ数字2つを1組含むとき。 ) 0
4の選び方は3通りで, B, CはAを選べば決まる。
(1123, 2213,3312
の3通りがある。なお、例
えば1132 は1123 と同じタ
イプであることに注意。
4!
-=12 (通り)
0XO1
181S
そのおのおのについて,並べ方は
2!
3×12=36 (個)
よって,このタイプの整数は
以上から
1+16+18+36=71 (個)
NE
ありがとうございます！！