Question

も

どうしてマーカー部の計算をするとy1が求まるのか教えて下さい🙏🏻💧

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重要例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2)
ゆえに
媒介変数tによって, x=2cost-cos2t,
ソ=2sint-sin2t (0StSx) と表される右図の曲線と,
*軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
とす
ここて
基本228
CHART
lOLUTION
であ
基本例題 228 では, tの変化に伴ってxは常に増加
したが,この問題ではxの変化が単調でないとこ
ろがある。
右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が
最大となる点をB(t=to でx座標が最大になると
する),t=π のときの点をCとする。
この問題では点Bを境目として×が増加から減少
に変わり, x 軸方向について見たときに曲線が往
復する区間がある。
したがって,曲線 ABをy, 曲線BCをy½とすると, 求める面積Sは
また
S
PB
-3
0
で
t=0
D=t。
t=元
曲線が往復
している区間
Cxo
S=dx-dx と表される。
よって, xの値の増減を調べ, x 座標が最大となるときのもの値を求めてSの式
を立てる。また, 定積分の計算は, 置換積分法によりxの積分から tの積分に直
して計算するとよい。
解答
図から,0Stハπ では常に
y20
inf. 0StSx のとき
sint20, cost<1 から
また
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
=2sint(1-cost)
ソ=2sint(1-cost)20
としても, y20 がわかる。
よって, y=0 とすると
sint=0 または cost=1
0StST から
t=0, π
次に,x=2cost-cos2t から
dx
-=-2sint+2sin2t
dt
=-2sint+2(2sintcost)
=2sint(2cost-1)
0<tく元 において %=0 とすると, sint>0 から
dt
t
0
COst=
ゆえに
t="
よって, x の値の増減は右の表のようになる。
dx
0
dt
x
1
00
|3|0|3|2|

っに、0StSにおけるyをy, 今stSxにおけるyを
355
とすると, 求める面積Sは
S=da-Swde
S
-0
0
ここで、0StS; において,
13 x
2
x=1 のとき t=0, x=; のとき t=2
S =
-3
dx
3
であるから
y
00
dt
また、stSx において,
x=のとき t= x=-3 のとき t=x
注意 yと yは,xの式と
しては異なるから、
edx=S."
dx
-dt
としてはいけない。
一方,tの式としては同じ
y(=2sint-sin2t)で表さ
であるから
よって
れる。
dx
S=
yidx
y
10
-dt
等--
dx
dt
dx
dt
dx
-y dt+
-dt
π
Sr)dx+Src)d
-Saは
=(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt
=(-2sin'2t+6sin2tsint-4sin't) dt
=2(sin°2t-3sin2tsint+2sint) dt
ここで
,sin°2tdt=("1-cos 4t
2
1-cos 20
Sainzudd-S
π
sin
合 sin'0=
2
inf. 積→和の公式から
S3sin2fsintdt=3f;2sintcost-sintdt
sin?(sintYdt=6}sin?|-
d=1-sin2|-ズ
3sin2tsintdt
--c0
sin3f-sint
=6 sin'tcos tdt=6"sin't(sint)'dt=6|- sin't| =0
(cos 3t-cost)dt
1π
r1-cos 2t
dt=
-sin3t-s
2[3
-a
S2sintd=
S=2(-0+)=3
=π
2
=0
したがって
としてもよい。
m この例題の曲線は,カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。
l。
II
3