Question

Sakura

(1)なんですが、解説の方で①となっている式は、点Aを通る接線の方程式という解釈でいいですか？
また、解説の(2)の1行目に三次関数のグラフでは、接点が異なれば接線も異なる、とありますが、三次関数でも極値がなければ、接点が異なっても接線は同じになることもある気がする(写真三枚目のように)のですが、ないのですか？
どちらかだけでも答えていただけたら幸いです🙇‍♀️

B CLear
449 曲線 C:y=x°+3x° について, 次の問いに答えよ。
C上の点 P(t, +3t°) におけるCの接線が点A(0, a) を通るとき、
等式 2t°+3t+a=0 が成り立つことを示せ。
(2) 点Aを通るCの接線が3本存在するとき, aの値の範囲を求めよ。

449 脂針(2)3次関数のグラフでは, 接点が異
なると接線も異なる。よって, 接線の本数は接
点の個数と一致する。
(1) y=x°+3x2 について
y=3x?+6x Eー
よって,点P(t, ポ+3t°)におけるCの接線の方
ソー(+3)=(3f?+64)(x-)
程式は
すなわち
y=(3t2+6t)xー2t3-3t2
これが点A (0, a)を通るとき
a=(3t?+6t).0-2f3-3f2
すなわち
2f3+3t?+a=0
の
(2) 3次関数のグラフでは, 接点が異なれば接線も
異なる。
ゆえに,Aを通るCの接線の本数は, tの方程式
のの異なる実数解の個数に一致する。
-23-3t?=a
のを変形すると
f(t) =-2f°-3f? とおくと
f'(t) =-6?-6t=-6{(t+1)
f'()=0 とすると
t=-1, 0
f(t) の増減表は次のようになる。
t
-1
0
0
0
極小
極大
-1
0

g'のだ別ぼさDとして、
D<Oだったとき

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ひま

前半はそれであってる
後半はならない
ひとつの接線で異なる接点をもつとすると
例えばy=f(x)の接線がy=mx+nで、これがx=α,βで接するとすると
f(x)-(mx+n)=P(x)(x-α)^2(x-β)^2と表せてfは4次以上になる
あなたの図でもそういう接線はひけないはず

Sakura

回答ありがとうございます🙇‍♀️後半の接線の式は公式ですか？

ひま

まあそうね
f,gが多項式なら、f,gがx=αで接する、すなわちf(α)=g(α)かつf'(α)=g'(α)……①となる
⇔f(x)-g(x)=Q(x)(x-α)^2と表せる
右から左は簡単で
左から右はf-gを(x-α)^2で割った商をQ(x)、余りをax+bとすると
f(x)-g(x)=Q(x)(x-α)^2+ax+b
f'(x)-g'(x)=Q'(x)(x-α)^2+2Q(x)(x-α)+a
となって①を代入するとa=b=0
って感じで証明できる
よく使うから覚えておいてもいい

Sakura

ありがとうございます！