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基本 例題206 3次関数の極値の条件から関数決定
3次関数f(x) -ax'+bx?+cx+dがx=0 で極大値2をとり, ×3D2で極小権
-6をとるとき, 定数a. b. c, dの値を求めよ。
本
指針>f(x) がェ=αで極値をとる→f(α)3D0 であるが, この逆は成り立たない。
よって、題意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=0 で極大値2 → f(0)=2, f'(0)=0
エ=2 で極小値 -6→S(2)=-6, f(2)=0
(B) x=0の前後でf(x) が正から負に,=2の前後でア(x) が負から正に変わ。
を同時に満たすことである。
ここでは,必要条件 (A) から、まず a, b, c, dの値を求め,逆に,これらの情た。。
数に代入し,増減表から題意の条件を満たす(十分条件)ことを確かめる。
解答
f(x)=3ax°+26x+c
*=0 で極大値2をとるから f(0)=2, f'(0) 30
x=2で極小値-6をとるから
必要条件(変数4個で
式が4個であるから、
は決定する)。
(2)=-6, (2)30
よって
d=2, c=0,
8a+46+2c+d=-6, 12a+46+c=0
a=2, b=-6, c=0, d=2
これを解いて
逆に,このとき
f(x)=2x-6x+2 ①
f(x)=6x°-12r=6x(x-2)
f(x)=0 とすると
関数のの増滅表は右のように
なり,条件を満たす。
ここから、十分条件で
ことの確認。
0
2
x=0, 2
0
f(x)
極大
2
極小
-6
4f(x)の符号の変化を
減表で示している。
したがって
a=2, 6=-6, c=0, d=2
検討)極値をとるxの値
3次関数(x) の極値をとるxの値は, 2次方程式f(x)3D0 の実数解であるから, 上の例
2次方程式 3ax*+2bx+c=0 の解がx=0, 2である。したがって, 解と係数の関係 によ
0+2=- 26
0-2=C
34'
ゆえに
b=-3a, c=0
このように, 極値をとるxの値が2つ与えられたときには, 解と係数の関係を利用すると
定数の値や関係式を導くことができる。
3次関数f(x)=ax +bx°+cx+dはx=1, x=3 で極値をとるという。ま
2206 の極大値は2で, 極小値は -2であるという。このとき,この条件を満だ
練習
f(x)をすべて求めよ。
(p.327 EX13
