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例題
173 直交する2曲線①平
2つの曲線 y=Vx, y=e" が直交するようにaの値を定めよ。
考え方>
右の図のように, 2つの曲線 y=f(x),
ソ=g(x) が共有点をもち, その点におけるそ大の
れぞれの接線がお互いに垂直に交わるとき,
2つの曲線は直交する という.
共有点のx座標をtとおいて, 次のことに着目する.
点を共有している
(f(t)=g(t))
y=g(x)
y=f(x)
京
|0
x
接線どうしが直交する
(F(t)g'(t)=-1)
w
M
解)
2つの曲線 y=/x ……①, y=eax ….2の共有点のx
座標をtとおく.
f(x)=x とすると, f(x)=
1
より,①の共有点に
2、x
ー 明
f(t)=!
2/t
おける接線の傾きは,
g(x)=ex とすると, g'(x)=aeax より,②の共有点にお 平
ける接線の傾きは,
のと2の曲線が直交するには, 共有点における接線が直交
すればよいから,
g'(t)=ae
2直線が垂直に交わ
6
るとき,2直線の傾
きをm, m' とすると,
1
aea"=-1 3
mm'=-1
f"(t).g'(t)=D-1より,
2/t
共有点の座標は, ①
より,(t, VE),
2より,(t, e") で
これが一致する.
また, ①, ②より,
VE =e …
1
*a/E=-1
2Vt
これを3に代入して,
>ン
4=-1 より, a=-2
y=Vx
2°
逆に a=-2 のとき, ④
を満たす共有点(t, VE)が
存在し,3も満たす。
よって、
1
リミe2x
0| t
(x
a=-2
微分法の応用
