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僕の考え方は、「基本的には場合の数の比で処理していくが、それだと難しいあるいは複雑なときに乗法定理を用いて解く」です。
ですが、どちらを使っても解けるケースが多いと思います。
例で出されている問題も２通り解けます。
①場合の数の比
サイコロを5個ふったときの全事象は6の5乗
5つのサイコロの目が異なるような出方は6つから5つの数字を選んで、それを並び替える6P5通り
ゆえに6P5/6の5乗=5/54
②確率の乗法定理
質問に書かれてある通り。
①を使うときの注意点としては、きちんと各々が等確率でおこる=同様に確からしくなければいけないということです。
例えば、コインを２枚投げたとき、表と裏となる確率で、表2枚ずつ、裏2枚ずつ、表と裏1枚ずつが考えられるので1/3としてはいけません。これは、表が2枚出ることと裏が2枚出ることと表と裏が1枚ずつ出ることの3つがどれも等確率ではなく、表と裏が1枚ずつ出ることだけがほかの2つより起こりやすいからです。
一方、②は確率の乗法定理が
P(A∩B)=P(A)×PA(B)
であり、PA(B)が条件付き確率であることに注意しないといけません。
PA(B)にあたるところで、AとBが独立ならばPA(B)=P(B)なのでP(A∩B)=P(A)×P(B)となりますが、独立ではないのにP(A)×P(B)としてしまうとミスります。赤玉3個と白玉2個が入っていて1個取り出して戻さずに色を見ることを3回した時に赤が2回の確率といわれたら3C2×(3/5×2/4×2/3)となりますが、この2/4が1回目で赤が出た上で2回目に赤が出る条件付き確率だと認識できていなければ危険です。当たり前かと思うかもしれないですが、問題が難しくなるほどこういう把握が難しくなるので、なるべくこっちを使うのは避けています。
問題ごとに分類していると言うより、問題をみてどうするか決めているので、パッとは思い出せないんですが、等確率でおこらないとき(例えば何かゲームをして2/3で勝つと言われたら、勝つことと負けることは等確率ではおこらない)は、かけ算を使わざるを得ないと思います。あるいは確率が変わっていくような問題は確率をかけ算をした方がわかりやすいことも多いんじゃないかなと思います。ただ、上でも述べたように、玉を取り出すみたいな場合だとどちらでもできます。
僕も確率がすごい得意なわけではないので、この程度のことしかいえませんが、その都度、この問題は場合の数の比で処理するのか、それとも確率どうしを掛け算するのかを考えるようにするといいと思います。
この問題とかはそうだと思います。
勝つ確率が1/2なら
(2)Aが優勝する確率は
Aの勝ちをw 負けをlとして
3回で勝つ→w w wの1通り
よって1/2^3=1/8
4回で勝つ
wを2回lを1回並べる3!/2!=3通り
3/2^4=3/16
5回で勝ち
wを2回lを2回並べる4!/2!=6通り
なので
10/2^5=10/32=5/16
1/8+3/16+5/16=10/16=5/8と
これらの足し算で求まると思いますが、2/3ならwとlを同等に扱えないので間違いになります。
訂正:5回で勝つところは4!/2!2!=6です。4C2でもいいです。
②を使う問題はどんな問題ですか？