Question

みな

オリジナル数学Aです。
309.310.の解答解説お願いします。🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️
急ぎです💦💦

数学 数学a 整数の性質 整数 整数問題 すうがく 高校1年 急ぎ 高校 高校数学 オリジナル オリジナル数学a 演習

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

310 だけ。これは大学入試問題ですね。

(1)
　(ab - 1)(bc - 1)(ca - 1)
　= (abc)² - abc(a+b+c) + ab + bc + ca - 1
　= abc{abc - (a+b+c)} + ab + bc + ca - 1

　両辺は abcで割り切れるので (ab + bc + ca - 1)は abcで割り切れる。

(2)
　ab + bc + ca - 1 = k*abc とする。kは正の整数。

　両辺をabcで割ると
　　1/a + 1/b + 1/c - 1/abc = k

　　1/abc を右辺に移動　1/a + 1/b + 1/c = k + 1/abc
　　　k≧1 , 1/abc ＞ 0 なので

　　1/a + 1/b + 1/c = k + 1/abc ＞ 1　①

　1 < a < b < c より　1/c < 1/b < 1/a

　　1 ＜ 1/a + 1/b + 1/c ＜ 1/a + 1/a + 1/a = 3/a

　　　∴ 1<a<3 より a=2 に一意に決まる。

　　1/2 + 1/b + 1/c ＞ 1 より 1/b + 1/c ＞ 1/2

　　両辺に2bcを掛けて
　　　2c + 2b ＞ bc
　　　bc - 2b - 2c ＜ 0
　　　(b-2)(c-2) ＜ 4

　　　2 = a < b < c より 0＜b-2<c-2

　　　(b-2,c-2) = (1,2),(1,3)
　　　　(b,c) = (3,4),(3,5)

(a,b,c)=(2,3,4)のとき ab+bc+ca-1 = 6+12+8 - 1 = 25 , abc = 2*3*4=24 より不成立

(a,b,c)=(2,3,5)のとき ab+bc+ca-1 = 6+15+10-1 = 30 , abc = 2*3*5=30 より成立

∴ (a,b,c)=(2,3,5)　※ 不等号で絞り込んで条件を出したので、成立するかどうか検算する必要があります。

みな

そうなんですか‼︎
ありがとうございます🙇‍♀️🙇‍♀️
助かりました🙇‍♀️🙇‍♀️