✨ ベストアンサー ✨
2.は満たしている～のところは数式で示してください。
Crystal Clearさま
赤字が添削された内容の不備な部分です。
結構細かく書かないと落とす先生みたいなのでもしよろしければもうこれ以上細かく書けないみたいな解説をお願いしてもよろしいでしょうか？追加の質問で申し訳ございません。どうかよろしくお願いします。
1. ただの式変形の部分と与えられた条件式の部分を区別して記述するとよい答案になると思います.
任意のx,y∊Gに対し
(xy)²=x²y²
(左辺)=(xy)(xy)=x(yx)y
(右辺)=(xx)(yy)=x(xy)y
より
x(yx)y=x(xy)y
左からx⁻¹,右からy⁻¹をかけると
yx=xy
以下略
2.
"どこから導かれたか"の部分は数学的には必要ではありませんが、それも記述した解答の方が教育的ではあるかもしれません.
"∊G"の議論は必要です. Gは-1以外の実数なので-1でないことを示す必要があります.
以下の記述を追加する
単位元eについて. 任意のa∊Gに対して
a*e=aとなるe∊Gは
a+e+ae=a
e+ae=0
e(1+a)=0
a∊G=R-{-1}ゆえa≠-1だから
e=0
よって単位元e=0∊Gが存在する.
逆元について. 任意のa∊Gに対して
a*b=e=0 となるbは
a+b+ab=0
(a+1)(b+1)=1
a∊G=R-{-1}ゆえa≠-1だから
b+1=1/(a+1)
b=-1+1/(a+1)
よって逆元a⁻¹=b=-1+1/(a+1)∊Gが存在する. [註:-1+1/(a+1)の形にすれば、これが-1でないことは自明になる]
3.
自分で導入した記号は定義を書くべき.
ただし、eは恒等写像、rは正三角形の中心まわりの反時計回り120°回転、sをある頂点と対辺の中点を結んだ直線に関する折り返しとする.
G=D6,Gの部分群をHとするとラグランジュの定理から～
"群Gの約数"は日本語としておかしい.
部分群Hの位数は群Gの位数6の約数であるから～
部分群を導出するところは私の答案を改良して
①|H|=2の部分群Hについて
e∊HだからH={e,a}. a≠e
aの位数が3だと演算が閉じるためにはa^2もHに入れる必要があるため不適.
よってaの位数は2でa=s,sr,sr^2
このとき演算は閉じ、aの逆元はa自身となりHに含まれるため適する.
②|H|=3の部分群について
これはきちんと書くと長いし疲れたのであとは任せます.
Crystal Clearさま
詳細な解説ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。
3番につきまして自分なりに参考にさせてもらい解答してみたので良かったら確認していただけると幸いです
Crystal Clearさま
解説ありがとうございます。
以前自分で考えて提出したものが今しがた添削された状態で返却されてきました。
私の解答載せます。おかしい点があった際指摘していただけると幸いです。