闘神さま
たとえば、
命題「x=1,y=2 ⇒ x+y=3」は真ですが、
逆命題「x+y=3 ⇒ x=1,y=2」は偽です。 …(☆)
本問の場合は
x+y+z=2k(x+y+z) …⑤
とおくとき、
「① ⇔ ②かつ③かつ④」
は言えますが、
「②かつ③かつ④ ⇒ ⑤」
であり、逆向きの ⇐ は成り立ちません。 ←ここが(☆)と同じです
つまり、等式⑤をみたすからといって、
②かつ③かつ④、すなわち、①をみたすとはかぎりません。
したがって、
1゜x+y+z≠0 のとき、等式⑤の両辺を÷(x+y+z)して k=1/2 ←まだ答えとは限らない
これを②③④に代入すると
2x=y+z , 2y=z+x , 2z=x+y
∴x=y=z
x+y+z≠0 であるから、
x=y=z≠0 のとき、k=1/2 になる。 ←これが解答例の 注）に書いてあることです
2゜x+y+z=0 のとき、等式⑤をみたす。
このとき、y+z=-x , z+x=-y , x+y=-z であるから
これらを②③④に代入すると
x=k・(-x) , y=k・(-y) , z=k・(-z)
∴k=-1 ←問題文の設定から y+z≠0 であるから、x=-(y+z)≠0 より ÷x できる。他も同様
よって、x+y+z=0,x≠0,y≠0,z≠0 のとき、k=-1 になる。
厳密に言えばこうなりますが、慣れてくると模範解答のようにします。
数学
大学生・専門学校生・社会人
(イ)でx+y+z=0のとき x+y+z=2k(x+y+z)
より0=2×k×0 よって、kは全ての実数 としてはいけないのですか？
(ア)
である.
(イ)
x+4y
3
とき
◆ 11 比例式, サイクリックな式
z+8x
をみたす正の実数x, y, z について,
4
y+4z
6
IC
y
y+z z+x
である.
2
x+y
xy+yz+zx
x2+y2+22
のとき, この式の値は, x+y+z=0のとき」
TC y
比例式はんとおく
a
b
れたときには,この分数式の値をkとおくのが定石で, こうすると計算にのせやすい.
サイクリックな式 (イ)の式の値をとおくと, x=k(y+z) などとなる.ここで
I, y, zをそれぞれy, z, π に入れ替えていくと,
x=k(y+z) •••••ア
y=k(z+x)...... ① ⇒ z=k (x+y)・・・・⑦
となり,もう1回やるとウアになる. このように, 文字がグルグル回る, アウを
サイクリックな式を言うが, この3式を辺ごとに加えると対称式になり、扱い易くなる.
条件式が
( 椙山女学園大)
x+y+z=0の
(麻布大獣医)
の形 (x:y:z=a : bic を意味する比例式) で与えら
C
(ア)
(イ)
とき
(イ)
JC
y
y+2 z+x
である.
解答
比例式はんとおく
条件式が =y=2の形(x:y:z=a:b:cを意味する比例式)で与えら
a
C
れたときには,この分数式の値をんとおくのが定石で, こうすると計算にのせやすい。
サイクリックな式
(イ)の式の値をとおくと, x=k(y+z) などとなる.ここで,
x,y,zをそれぞれy, z, x に入れ替えていくと,
x+4y
3
x=k(y+z)…....
y=k(z+x)...... ①
z=k(x+y)......⑦
となり,もう1回やると⑦⑦になる。このように、文字がグルグル回る, ア~⑦を
サイクリックな式を言うが、この3式を辺ごとに加えると対称式になり、扱い易くなる.
-=k (k>0) とおくと,
x+4y=3k•••• ①, y+4z=6k...... ②, z+8x=4k...... ③
① によりx=3k-4y で, これと③から, z=4k-8x=32y-20k
これを②に代入して, y +4(32y-20k)=6k
2
x+y
86
129
y+4z_z+8x
I
y+z
のとき、この式の値は,x+y+z=0のとき [
6
4
2
y = -k=²k₁
-k, x=3k- -k= -k, z=4k-
3
k=31 (10) とおいて, x=l, y=21, z=41
よって, 求値式 =
y
z+x
1-21+21 41+41-1 2+8+4 14
I2+ (21) ²+ (41) 2
1+4+16 21
=k......① とおくと,
x+y
x=k(y+z)......②,y=k(z+x).... ③, z=k (x+y)….....④
② +③ + ④ により, x+y+z=2k (x+y+z)
1° x+y+z=0 のときは, これで割って, k=
k=1/12/2
2° x+y+z=0のとき, y+z=-xとなり, ① によりk=1
⇒注1°のとき, ②-③によりエーy=1/12(y-x) となるから,x=y
よって④とから, x=y=zとなる.
このとき 0:2K.Oより
Kはすべての実数としてはいけない。
4
-k= -k
11 演習題 (解答は p.28 )
x
y+z
3
これをおかないで、計算してもよい。
|,x+y+z=0 の
(麻布大獣医)
23
x
x, y, zが正により, k>0
等式の条件は, 文字を消去するの
が原則
求めたい
かな足の形にするために
②+③+④
y
←前文参照.
につい
(1)
(2)
(3
(1
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ずっと悩んでいたことだったのでとても助かりました。このような長文でわかりやすく説明してくれて本当にありがとうございます。