判別式の計算が違います。
bはxの係数ですので、ここでは
b=-(2a+1)
です。よって、
D={-(2a+1)}²-4∙1∙a(a+1)
=1＞0
aにかかわらず常にD＞0です。
この条件からはaの範囲が決まりません。
別の条件からaの範囲を決定する必要があります。
解き方は複数ありますが、最も単純な解き方で。
(問題に合わせて最適な解き方を選ぶことが大事です。)
実はこの2次方程式は因数分解できて、2つの解が簡単に求められるんですよね。
(これに気づくには多少の慣れが必要かもしれません。文字の入った因数分解の問題演習をしっかり積めば、因数分解できる形はなんとなくつかめてくると思います。)
x²-(2a+1)x+a(a+1)=0
(x-a){x-(a+1)}=0
x=a,a+1
よって、a,a+1の片方だけが1~3の中にあるようなaの範囲を求めればいいです。
(i)aだけが解になる場合
1≦a≦3かつ3＜a+1
これを解くと
2＜a≦3
(ii)a+1だけが解の場合
a＜1かつ1≦a+1≦3
これを解くと
0≦a＜1
(i),(ii)より
0≦a＜1または2＜a≦3
