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x+y=psin2πf₁t+psin2πf₂t
ここで、和→積の公式(もしくは関係)
sinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
を用いると
x+y=2psin{π(f₁+f₂)t}cos{π(f₁-f₂)t}
と変形できます。
これがf₁=f₂の時のx+yの振れ幅の最大値2pとなるような条件をf₁>f₂の条件下で見つけます。
f₁>f₂より、f₁+f₂>f₁-f₂>0 なので
sin{π(f₁+f₂)t}はcos{π(f₁-f₂)t}よりも周期が短い(細かく振動する)かつ
-1≦sin{π(f₁+f₂)t}≦1
-1≦cos{π(f₁-f₂)t}≦1
であることを考えると
x+y=2psin{π(f₁+f₂)t}cos{π(f₁-f₂)t}
が2pとなるためには
2p=2psin{π(f₁+f₂)t}cos{π(f₁-f₂)t}
1=sin{π(f₁+f₂)t}cos{π(f₁-f₂)t}
より
sin{π(f₁+f₂)t}=±1かつcos{π(f₁-f₂)t}=±1
(複号同順)
の場合のみ、すなわち自然数nを用いて
π(f₁+f₂)t=(1/2 +n)π ー①
かつ
π(f₁-f₂)t=nπ ー②
となります。
(n=0,1…を①と②に代入してみるとどちらにもnを使っていい理由がわかると思います。)
②から
t=n/(f₁-f₂)
これを①に代入すれば
n(f₁+f₂)/(f₁-f₂) =(2n+1)/2
分母を払って整理すると
2n(f₁+f₂)= (2n+1)(f₁-f₂)
(4n+1)f₂=f₁
∴f₂=f₁/(4n+1)
間違えていたらすいません。
ありがとうございます！
おかげさまで理解できました🙏🏻✨