12で割って余りが4の2桁の整数は、1≦a≦7を満たす整数aを用いて、
12a+4----⑴
8で割って余りが4の2桁の整数は、1≦b≦11を満たす整数bを用いて、
8b+4----⑵
⑴と⑵は同じ整数を表しているので、
12a+4=8b+4
12a=8b
3a=2b----⑶
⑶の式から、aは2を約数に持ち、bは3を約数に持つことが分かる。kを整数として、これを式で表すと、
a=2k
これを⑴に代入すると、求めたい整数は
24k+4----⑷
で表される。
24は3の倍数なので24kも3の倍数になる。
ところで、3の倍数の一の位と十の位の和は、3で割り切ることができる。
つまり、24kの一の位と十の位の和も3で割り切ることができる。
24k+4の一の位と十の位の和は、3の倍数に4を足したものになる。
これを式で表すと、nを整数として、
3n+4=3(n+1)+1
(n+1)は整数なので、3(n+1)は3の倍数である。
つまり、12で割っても8で割っても余りが4になる2桁の整数の一の位と十の位の数の和は、3で割ると余り1になる。
⑷にk =1，2，3，を代入すると、
k =1→28→一の位と十の位の和は10
k =2→52→ 一の位と十の位の和は7
k =3→76→ 一の位と十の位の和は13
→全て3の倍数+1
