Question

村人A

(3)の解法を教えてください。答えは100です。

*323 3次方程式 **一4zヶ2ー5ヶ十8ニ0 の3つの解を@ 5 7とする
とき, 次の式の値を求めよ。

給付鏡后も       2 942
ur    / eg

(3) ge?十8十7?       (4) 人設MR
(5) (3-o)(3-ーめの(3-めの)        6) (@寺の(8+ヵ)(7二o)

Answer 1

としさん

３解をα,β,γとすると

x³-4x²-5x+8=(x-α)(x-β)(x-γ) と置けるので

α+β+γ = 4
αβ+βγ+γα = -5
αβγ = -8

(α+β+γ)³
　= α³+β³+γ³+3αβ(α+β)+3βγ(β+γ)+3γα(γ+α)+6αβγ

3αβ(α+β) = 3αβ(4-γ) = 12αβ-3αβγ
3βγ(β+γ) = 3βγ(4-α) = 12βγ-3αβγ
3γα(γ+α) = 3γα(4-β) = 12γα-3αβγ
より

(α+β+γ)³ = α³+β³+γ³+12(αβ+βγ+γα)-3αβγ

α³+β³+γ³ = (α+β+γ)³-12(αβ+βγ+γα)+3αβγ
　　　　　　= 4³-12*(-5)+3*(-8) = 64+60-24 = 100