Question

ゲスト

この式の一部分(写真右)
が分かりません

安全ではありません 一 k-kyogoku2.com

 

与えられたベクトル gテ0) に対して、任意の別のベクトルヵ を考える。の が
4 と垂直なベクトル と平行なベクトル に分解されるとき、Cをとめを用
いて表せ。

(2017 年昭和大医 112、 改題)

 

 

 

[解題]

ベクトル ヵ をペクトル とそれに直交する成分に分けたらどうなるか、これを数
式で表す問題です。

「シュミットの上直交化法」と呼ばれる、複数のペクトルから 1 次独立なペクトル群(基
底と呼ばれる) を構築する手法に関する問題です。大学で学ぶものですが、高校数
学でも十分解けるはず、と考えて出題しているのでしょう。話はベクトルの構成の
初歩的な部分のものなのですが、このような思考をしたことのない受験生にとって
はかなりの難問でしょう。

[解法]
右図を描くことが出発点です。そうすると、次の関係が
成立します。

=でっで2ーg

Ne     ェ @gみー
> gg の2- ユc=5ー ーテ
4   g     較

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

gößt

まず、a ⃗と同じ向きの単位ベクトルe ⃗ を用意します
　e ⃗＝a ⃗/|a ⃗|
ですね

次に、b ⃗ とa ⃗ のなす角をθとするとa₁ ⃗ はe ⃗ と同じ向きで大きさが |b ⃗|cosθ のベクトルなので
　a₁ ⃗＝(|b ⃗|cosθ)e ⃗
です
ここで、
　|b ⃗|cosθ＝b ⃗•e ⃗ (∵ |e ⃗|=1)
なので、
　a₁ ⃗＝(b ⃗•e ⃗)e ⃗
　　＝(b ⃗• a ⃗/|a ⃗|) a ⃗/|a ⃗|
となります

ゲスト

丁寧な回答ありがとうございます
理解不足ですみません
以下の内容が分からなかったので再度返答していただけますと助かります

gößt

①
ベクトルの等号は、向きと大きさの両方が等しくなって初めて成り立ちます
a₁ ⃗ とe ⃗ は向きが等しいですが大きさが違うのでイコールにはなりません。向きが等しいということから
　a₁ ⃗＝ke ⃗ (kは実数)
と表せることまでは分かりますね

②
これは図形的な判断です。図のような直角三角形に注目すると、cosの定義より
　cosθ＝|a₁ ⃗ |/|b ⃗ |
　 |a₁ ⃗ |＝|b ⃗ |cosθ
となってa₁ ⃗ の大きさが分かります

ゲスト

すみません、最後に

　|b ⃗|cosθ＝b ⃗•e ⃗ (∵ |e ⃗|=1)
だけよければお願いしてもいいですか？

gößt

内積の定義を使っています
　b ⃗•e ⃗ ＝|b ⃗||e ⃗|cosθ
かつ |e ⃗|=1 より
　|b ⃗|cosθ＝b ⃗•e ⃗

ゲスト

ありがとうございます
こんなに時間割いてくださりほんとに助かりました

gößt

いえいえ、理解につながったなら何よりです(｀・ω・´)