44
64の
必要例題
15
平方根と式の値 (3)
x+y+z=√5+2xy+yz+zx=2√5 +1,xyz=2を満たす実数x, y, zに対し
て、次の式の値を求めよ。
1
1
(1)
+
+
x
y
2
(3)x+y+2
(2)x2+y2+2
(4)x+y+24
指針 条件の式も値を求める式も x, y, zの対称式。 次のことを利用する。
例題13
x,y,zの対称式は基本対称式x+y+z, xy+yz+zx, xyz で表される
これまでに学んだ,次の展開公式や因数分解の公式を利用することを考える。
(x+y+z)=x2+y+2+2(xy+yz+zx)
x+y+z-3.xyz=(x+y+z)(x2+y2+z-xy-yz-zx)
1 1
yz
ZX
xy
解答(1)
+
+
+
+
x y
Z
xyz yzx
z.xy
=
yz+zx+xy
xyz
=
2√/5 +1
2
(2)x2+y2+22=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)
=√5 +2)2-2(2√5+1)
ケ
=9+4√5 -4√5-2=7
①
(3)x+y+23
(x+y+z)^ の展開
式を利用。
=(x+y+z)(x2+y2+2"-xy-yz-zx) +3.xyz
=(√5 +2){7-(2√5 +1)} +3.2
by
10/12-72(+25+2) (3-√5) +662-215 EZEKSZ
=2(1+√5)+6=8+2√5
1st()
x+y+z-3.xyz
数分解の公式を利
2(+27 (3-5)+6
1st (2) x+y+z=(x2+y2+22)2-2(x2y2+y2z2+z2x2)
utsy
(x+y+z)^ の展
04
******
② 式を利用。
x2x2+y2z2+z2x2=(xy+yz+zx)2-2xyz (x+y+z)
=(2√5 +1)2-2.2(√5+2)
=21+4√5-4√5-8=13
*****
③
① ③②に代入してx+y+z=7-2・13=23
