Question

riii

青チャートです。
このページの練習問題の(1)なんですけど、他の例題や(2)は、結論から変形して条件を使って証明している感じなんですけど、(1)は条件を変形して結論に持っていく解答になってて、これはどういった理由こういうアプローチの仕方の違いなのですか。どこに目をつけたらそうなるのかを教えていただきたいです。🙇‍♀️

解答
(2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b, cはすべて1であることを証明せ
よ。
指針 まず, 結論を式で表すことを考えると、次のようになる。
(1) a,b,c のうち少なくとも1つは1である
⇔ a=1 または 6=1 または c=1
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇒ (a-1) (6-1)(c-1)=0
★
(2) a, b, cはすべて1であるα=1 かつ 6=1 かつc=1
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
(a-1)+(6-1)+(c-1)=0
よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。
②13 (1)
(2)
142x
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
(1) P=(a-1) (-1) (c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって
α-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
したがって, a, b c のうち少なくとも1つは1である。
(2)Q=(a-1)+(6-1)+(c-1)2 とすると
Q=a+b2+c-2(a+b+c) +3
ここで, (a+b+c)=a+b2+c2+2(ab+bc+ca)
るから
ゆえに
よって
a+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=32-2・3=3
Q=3-2・3+3=0
α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって, a, b, cはすべて1である。
指針 (1) の... の方針
結論から方針を立てる
ことは,多くの場面で有
効な考え方である。
|ABC = 0
⇔A=0 または B=0
またはC= 0
<指針(2)の__★の方針
実数 A に対し A'≧0
[等号はA=0のとき成
り立つ。]
これを利用した手法であ
る。
A'+B'+C2=0
⇔A=B=C=0
15 a
$16
◎17
練習 a b c d は実数とする。
④ 26
1
+ +
a
1 1
b
のとき,a,b,cのうちどれか2つの和は 0 である
1
a+b+c
C
ことを証明せよ。
(2) a2+b2+c+d=a+b+c+d=4のとき, a=b=c=d=1であることを証明せ
よ。
p.49 EX17

練習 a, b, c, dは実数とする。
④ 26
(1)
a b C
よ。
122+1/+1
1
a+b+c
のとき, a,b,cのうち, どれか2つの和は0であることを証明せ
三大山
1 1
1
(1)
から
a b C a+b+c
におく
bc+ca+ab
(2) a2+b2+c+d=a+b+c+d=4のとき, a=b=c=d=1であることを証明せよ。
+ + =
1+
←(a+b)(b+c)(c+α)
1 +0 +0 +1 =0 を目指す。
1
=
abc
a+b+c
I+d+d+
形
ゆえに
よって
(a+b+c)(bc+ca+ab)=abc
{a+(b+c)}{(b+c)a+bc}-abc=0
(b+c)a²+(b+c)'a+bc(b+c)=0
(b+c){a2+(b+c)a+bc}=0
(b+c)(a+b)(a+c)=0
ゆえに b+c=0 または α+6=0 または a+c=05-
よって, a, b,cのうち, どれか2つの和は0である。
(2)P=(a-1)+(6-1)+(c-1)+(d-1)" とすると
← αについての式とみて
計算する。
←P=0を目指す。
値
てか
よって
P=a+b2+c+d-2(a+b+c+d)+4=4-2・4+4=0
α-1=0 かつ 6 -1 = 0 かつ c-1=0 かつ d-1=0
すなわち a=b=c=d=1
←A2≧0 の等号は,
ス
A=0のとき成り立つ。
(S)

チャート 等式の証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

これも、やっぱり示したい結論から考えていますね

結論は「a,b,cのうち、どれか2つの和は0」ですが、
これは「a+b=0またはb+c=0またはc+a=0」ということです

こうなると、これは例題の(1)と同様ですね
(a+b)(b+c)(c+a)=0を示せばよい、
ということになります

与えられた条件式を変形して、
(a+b)(b+c)(c+a)=0を目指そう、
ということになります

いかがですか？

riii

ありがとうございます🙇‍♀️
大体の方針は掴めました💦

他の問題は、目指そうとしている式を最初から出してそこに条件使って=0を導いている感じなのですが、(1)は、条件式の変形から入っているというのが引っかかっていて、、

与えられた条件が分数で使いにくそうだから、今回(1)は条件式を目指す形に持っていくという考え方をしていると言うことでいいでしょうか？

やろうと思えば他の例題などの問題の型でも出来るけど…という感じですか？

和

はい、そのような理解でいいです

分数式だから、は間接的な理由ですかね
他のはたとえばa+b+cはいくつ、abcはいくつ、
といったようにそれぞれの値が決定しているので、
代入がしやすいです
しかしこの問題はa+b+cとab+bc+caとabc
の比で与えられているので、
その条件式から変形しているのでしょう

ただ、結論の式から行っても難しくないし、
不自然でもないです
趣味の範疇だと私は感じます

riii

ご丁寧に説明ありがとうございます！
腑に落ちました🙇‍♀️