Question

momo

(ⅰ)でP1,P2の集合がそれぞれ4k-3,4kと4k-2,4k-1になる理由と(ⅱ)の1,2∪4k,4k+3と3∪4k+1,4k+2になる理由を教えてください！

を自然数とし, 1からnまでの異なるn個の自然数からなる集合をN とする. Nの2つの部分集合
P1, P2は
PinP2 = Ø かつ P1UP2 = N
を満たすとする。 ただし, Øは空集合とする. P1 の要素の総和を S1. P2 の要素の総和を S2 とすると
き, S1 S2 を満たす P1, P2 が存在するようなn の値をすべて求めよ。

解答 N = {1, 2, ...,n} の部分集合 P1, P2 が
P₁ P20, P₁ U P₂ = N
=
を満たし,P の要素の総和 Si (i=1, 2) が
(1)
S₁ = S2
を満たすならば,
n
n(n + 1)
Σ k =
2S1
2
k=1
により,n(n+1)=4S1 が成り立つ.n,n+1の一
方は奇数,他方は偶数なので,
n =0 / n + 1 = 0 (mod 4),
即ち
n = 0 n = -1 (mod 4)
である.
i) 自然数 m を用いてn=4mと表されるとき,
-
P₁ = {4k – 3, 4k | k = 1, 2,
-
..., m},
….., m}
P2 = {4k2, 4k − 1 | k = 1, 2,
は ① を満たし
S₁ =
m
-
m
= Σ ((4k − 3) + 4k) = Σ (8k - 3),
k=1
m
k=1
m
S2 = Σ ((4k − 2) + (4k − 1)) = Σ (8k − 3)
− -
k=1
-
により, S1 = S2 が成り立つ.
-
k=1
i) 自然粉を用いてn-Am 1と表されるとき

1
02 炭
ii) 自然数 m を用いてn=4m-1と表されるとき,
P1={1, 2}∪{4k, 4k+3|k = 1, 2, ..., m-1},
P2={3}∪{4k + 1, 4k + 2 | k = 1, 2, m-1}
...
(m=1のときP1 = {1, 2}, P2 = {3} と定める)
は ① を満たし
m-1
S1 = (1 + 2) + Σ (4k+ (4k+3))
m-1
k=1
= 3 + Σ (8k + 3),
k=1
m-1
S2 = 3 + Σ ((4k + 1) + (4k + 2))
k=1
m-1
= 3 + Σ (8k + 3)
k=1
m=1のとき(8k+3)=0と定める)
により, S1 = S2 が成り立つ.
以上により,求める n の値は
である.
n=4m, 4m -1は自然数)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

前者
4k-3,4k-2,4k-1,4kを2つに分けて話が等しくなるには
解答のように分けるしかありません

後者
1,2,3以外は↑と同様に分ければ済みます
残った1,2,3は↑の分け方ができず、例外として分けます
1,2と3に分ければ終わりです

momo

ありがとうございます！