Question

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高二数学

波線を引いている部分のabはどう計算して3abからabになったんですか？

B1
式と証明・高次方程式 (20点)
多項式P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 がある。 ただし, kは実数の定数とする。
(1) P(2) の値を求めよ。 また, P (x)を因数分解せよ。
(2) 方程式 P(x)=0 が異なる2つの虚数解をもつときんのとり得る値の範囲を求めよ。
また、このとき、2つの虚数解をα, β とする。 '+B'+2a+2/+3=11 であるとき
kの値を求めよ。
配点 (1) 8点 (2) 12点
解答
(1)
P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6
P(2)=8+4(k-2)+2(3-2k)-6
= 0
<P(x) に x = 2 を代入する。
よって,P(x)はx-2 を因数にもち, P(x) を x-2で割ると、次のように
因数定理
なる。
x2+kx
+3
x-2)x+(k-2)x2+(3-2k)x-6
-2x2
kx²+(3-2k)x
P(x)は1次式x-αを因数にも
(x-αで割り切れ
⇔P(α)=0
組立除法を用いて計算すると,
のようになる。
kx²
-2kx
3x-6
3x-6
0
k-2 3-2k -6
2
2k 6
1
k 3 10
したがって P(x)=(x-2)(x2+kx+3)
圈 P(2) = 0,P(x)=(x-2)(x2+kx+3 )
多項式Aが多項式Bで割り
あるとき,商をQ とすると
A=BQ
完答への
AP(2) の値を求めることができた。
道のり
P(2) の値と因数定理から,P(x) が x-2 を因数にもつことに気づくことができた。A
© 多項式の除法により, P (x) を因数分解することができた。
(2)
(1)より, 方程式 P(x) = 0 は
(x-2)(x2+kx+3)=0
すなわち
x=2
または
3次方程式 P(x)=0の1
は,kの値に関係なく, x=
残りの解は2次方程式①の解で
.....①
x+kx+3=0
よって,P(x) = 0 が異なる2つの虚数解をもつ条件は, 2次方程式①が
虚数解をもつことである。
①の判別式をDとすると
D=k-4・1・3
= k²-12
2次方程式 ax2+bx+c=0 の判
別式をDとすると
D=b2-4ac
40-

2次方程式 ① が虚数解をもつ条件は,D< 0 より
k2-12<0
よって、 求めるkの値の範囲は
-2√3 << 2√3
②
また,P(x) = 0 の虚数解 α, β は①の虚数解であるから,解と係数の関
係により
0
a+β=-k, aβ=3
条件より
(a2+B2)+2(a+B)+3aβ=11
((a+B)2-2B}+2(a+B)+3aβ=11
(a+B)+2(a+β)+α=1
これに③を代入すると
k2-2k+3=11
k2-2k-8=0
(k-4)(k+2)=0
k=4, -2
② より = 4 は適さないから、 求めるんの値は
k=-2
もっ
てる
答 -2√3<<2√3,k=-2
1 JAN
2次方程式 ax2+bx+c=0 カ
虚数解をもつ
⇔D<0
解と係数の関係
2次方程式 ax2+bx+c=0 の
2つの解をα β とすると
b
a+B=-, aẞ==
対称式の変形
α
(a+B)^=α+2aB+B2 より
a+β2 = (a+B)2-2aβ
虚数解をもつ条件 ②を満たしてい
るかを吟味する。
=
2√3 12 であるから
√9 <√12<√16 より
切れ
解
で、
うる。
完答への
P(x) =0 から, 2次方程式 ①を導くことができた。
道のり
3 <2√3 <4
である。
BP(x) = 0 が異なる2つの虚数解をもつのは, 2次方程式 ①が虚数解をもつときであることに気づ
くことができた。
C 2次方程式 ① の判別式Dを導き, D<0 から kの値の範囲を求めることができた。
①解と係数の関係により, α+β, aβ を求めることができた。
E α,βに関する条件の式を, a+β, aβ を用いて表すことができた。
解と係数の関係と条件の式から,kに関する方程式を導くことができた。
©kに関する方程式を解き、その解が虚数解をもつ条件② を満たすかを吟味して,kの値を求めるこ
とができた。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あき

α^2+β^2を(α+β)^2にしたときに出てくる余分な2αβを引いたので、3αβからαβになってます