Mathematics
高中
已解決
数3 微分の応用
赤線で引いた部分がわかりません。。。x>0じゃないのでしょうか?
238 不等式の証明
2√x
(1) x>0 のとき, logx≦
e
を示せ。 ただし, eは自然対数の底である。
(2) (1)を用いて, lim
log x
= 0 を示せ。
81X
x2
238 APPROACH
(1)f(x)=210gとおき,x>0のとき(x) 20であることを示せばよい。
e
(2) はさみうちの原理を利用する。
+
K
←x>0 における f (x) の最
小値に着目。
解答 (1) f(x)=2
-logπ とおく。
e
1
1
VI
I
f'(x) = 2.1
=
e
√-e
f'(x) =0 より
√√√√-e=0
ex
I
0
f'(x)
x=e²
f(x)
-
e²
0
0.
f(e²)=2√e²-loge²= 2e_2loge=2-2=0
e
e
よって, 増減表は右上のようになり, x>0において
f(x) ≧0であることが証明された。
すなわち, x>0のとき log-
2√x
が成り立つ。
e
(2) (1)により,x≧1のとき
0≤log.xs-
2√√x
10gx2
e
よって, Osloga22
21
=
x²
ex²
ex√x
ここで, lim-
2.
1
-=0 であるから はさみうちの原
481l
理により
0
lim-
H11
log x
が成り立つ。
22
=
← はさみうちの原理を適用。
[0≤ f(x)≤g(x)
limg(x)=0
のとき limf(x) = 0
814
解答
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