2 正弦定理と余弦定理 241
例題 124 三角形の成立条件
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3辺の長さが3, 4, xである三角形について,次の問いに答えよ.
(1)xのとり得る値の範囲を求めよ.
この三角形が鋭角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ.
3
考え方 (1) たとえば, 3辺の長さが3, 4, 9では、
4
で三角形ができない.
9
AST
三角形ができるためには,a+b>c が成り立つ必要がある.
(2) 鋭角三角形となるのは,最大の角が鋭角のときである。
最長となる辺の対角が最大となるので, 4とxを比較する.
(辺と角の大小関係は p.425 参照)
解答(1)3辺の長さが3,4,xの三角形が存在する条件は,
[3+4>x
x+3>4
x+4>3
C
a,b,c を3辺の長
さとするならa>0,
これより, 1<b>0c0 が必要
(2)(i)1<x<4 のとき,最大の角は長さが4の辺の対
角である. それを とすると, α <90°となるため
には,
cosa=
x2+32-42
2.x.3
>0x2+32-40
これより, x<-√7.7x
JEJEVUJI
これと 1 <x<4より,√7<x<4
(ii) 4≦x<7 のとき,最大の角は長さがの辺の対
角である。 それをβ とすると, β <90° となるため
には,
cos β=
32+42-x2
2･3･4
->0
32+42x20
これより,
5<x<5
大
これと 4≦x<7より,
4≦x<5
であるはずだが,こ
れらは,三角形の成
立条件の3つの式か
ら導かれる.(次ペ
ージのColumn 参照)
最大角をみるために
は、場合分けが必要
一般に
Aが鋭角
⇔ b2+c>d
を用いてもよい。
よって, (i), (ii)より, √7 <x<5
ありがとうございます
理解できました