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(1) f(x)=6x-x+S_f(t)dt
次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。
基本 例題 241 定積分で表された関数
(2) f(x)=f(x+1)s (d+)
000
Sdt-a. Su
よって
Sof(t)
指針 (1) f(x)はこれから求めようとする関数なので,定積分f(t)dt を計算するこ
Sit
-1
=FD-F
また
できない。ここで,F(x)=(x)とすると, S.,
であるから,S,f(t)dt は定数である。
よって、f(t)dt=a (a は定数) とおくと, f(x) =6x-x+αと表される
Stadt=aである。この定積分を計算しての値を求める。
(2)f'(x+1)(0) は変数を含むから、f(x+ff(e)dr=(定数)とおくこと
ない。そこで、まずはf(x+1)f(t)de=S,xf(t) dt+Sザ(t)dt と変形する。
そして、Soxf(edt において,xは積分変数に無関係であるから」の前に
とができ、S'(x+1)f(t)dt=xff(t)dt + Suf(t) dt と変形できる。
Sof(t) dt と Sof(t) dt は異なる定積分であるから,それぞれを別の文字(定数
おく。
ゆえに
よって
これを解い
したがって
定積分の扱し
(1)S_f(t)dt=a とおくとf(x)=6xx+α
(2) について
検討
×
積分
×
解答
よってS,f(t) dt=S(6t-t+a)dt
ゆえに
よって
したがって
(2)
=2S(6t+a)dt
=2[21³+at]
=2(2+α)
2(2+α)=a
a=-4
f(x)=6x2-x-4
S'(x+1)f(t)dt=Soxf(t)at+Soff(t)dt
x は積分変数 tに無関係であるから
Sxf(t)dt=xf(t)dt(s)
ゆえに f(x)=xff(t)dt+Souf(t)dt+1
Sot
①
S
の定積分
-a
偶数次は25
また、>
奇数 0
定積分の
S,f(t)dt=aから。
f(x)=6x2-x+a
S'(x+1)f(nat
f(x)+
xは定数として扱い
積分の前に出す。
練習 次の
(1)
②241
