原点 0(0, 0, 0) と点A(1,1,1) を通る直線を1とし, 3点B(1,0,0)(0.2.0.
D (0, 0, 3)を通る平面をαとする。 以下の問いに答えなさい。
□ (1) ベクトルは平面αに垂直で,成分がすべて正であり,長さが7になるものとする。
このときを成分で表しなさい。
□ (2) ABCD の面積を求めなさい。
□ (3) 0から平面αへ引いた垂線と平面αとの交点をHとする。 線分 OH の長さを求めな
さい。
□ (4) Pは座標がすべて正である直線上の点とする。 P を中心とする半径7の球面が点 Q
で平面αに接するとき, P. Qの座標を求めなさい。
('12 首都大学東京 理系)
4) 点Qは平面α上の点より
OQ = OB + sBC+t BD
F
=(1, 0, 0) +s(-1,
2,
0) +t(-1, 0, 3)
=(1-s-t, 2s, 3t) (s, tは実数)
.③
とおける。
□点Qが平面 BCD 上にある条件をベクトルの式で表すことができたか
振り返り
Check
また,点Pは直線上の点では原点を通り方向
ベクトル(1,1,1)の直線なので、点Pの座標は,
(u, u, u) (u>0) とおける。 ......④
(1)より, (i) QP = d,または, (ii) QP =-d
(i) QP=dのとき
a
B* Q
OP = OQ+QP =0Q+d
10
=(1-s-t+6, 2s+3, 3t+2)
=(7-s-t, 2s+3,3t+2)
⑤
(4) ⑤より,
7-s-t=2s+ 3 かつ 7-s-t=3t+2 G
これを解いて,s=1, t=1
③⑤にこれらの値を代入して
P(5, 5, 5), Q(-1, 2, 3)
これは, u>0を満たす。
(i) QP=dのとき
同様にして求めると, u<0となり条件を満たさない。
以上より,
P(5,5,5), Q(-1, 2, 3)
解けない問
解答ありがとうございます。
問題のとおりに図を書いてみて、直線Lが平面αより手前（正方面）に来る図になり、
Pは座標が正という縛りがあるため
→QP＝→−a になりません。
図が間違えてますかね？
※（→a＝(6,3,2)です）