Question

pcm529

赤線を引いたところが数学的になぜ言えるのか分かりません。感覚的には分かるのですが…
また、x軸、y軸、y=x、原点対称の媒介変数表示された曲線は赤線のことが言えるのでしょうか。

例題 C2.78 いろいろな曲線(2)
3 媒介変数表示 (517)
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x=cos't
tを媒介変数とするとき, 曲線
ly=sin't
の概形をかけ.
[考え方 例題 C2.77 で求めたアステロイドである。
対称性を利用すると、右のようにOSIST の範囲
概形を調べれば、全体をかくことができる.
yy=x/
cost, sint の周期は2mであるから, 0≦t≦2 の範囲で
解答
考える.t=0,0,0, 2-0 に対応する点をそれぞ
P,Q,R, S とし,P(x,y) とすると、sinx, c030
x=cos0y=sin'0
cos(0)=-cos'0=-x, sin (n-0)=sin0=y
したがって,Q(x, y) より,この曲線はy軸に関して対称
cos(n+0)=-cos0=-x, sin(n+0)=-sin'0=-y
したがって,R(-x, -y)より,この曲線は原点に関して対称
cOS (2-0)=cos' Q=x, sin (2-0)=-sin0=-y
したがって, S(x, -y) より,この曲線はx軸に関して対称
4
まず対称性を調べ
P
0
R
さらに,t= .0 に対応する点をP(x, y) とすると,
x 軸対称
*y 軸対称
π
2
=cos (46)=sin {(10)}= sin(+0)
4
4
y=sin (6) =cos
-6)=cos
π
2
(4-0)} =cos (+0)
原点対称
*y=x に関して
称
の4つの対称性が
したがって,t=7 +0 に対応する点TはT(y.x) となる.かる.
すなわち、この曲線は直線 y=x に関して対称である。
T
よって、この曲線の≦ts の範囲の概形を調べる.
y
y=x/
π
π
t0.
6
3√3
v2
81-8
x14
y0 >
したがって、上の表より, 相当する
24点を定めると右のようになる。
よって、Ot2 における曲線の
概形は右の図のようになる.
4
42
12/
TC
4
22
260
√2
2
40
0
44
OPの長さを求め
と次のようになる
t
0
√7
OPの長さ 1
4
1671
練習
[x=sint
の概形をかけ、
•p.C2-170
C2.78]
を媒介変数とするとき、曲線
= sin2t
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