Question

いちごヨーグル

こういう積分の面積を求める問題の時に赤線の範囲の区切り方がわからないです！誰か教えてください、、！

128
478
=
CONNECT 数学ⅡI
2401
12
■問題の考え方■■
与えられた連立不等式の表す領域の面積がど
のような定積分で求められるか, グラフを図
示して考える。
479
■問題の考え方■
2つの接線の方程式を求め, 与えられたそれぞ
これの図形の位置関係を図示することで、どの
ような定積分を計算すればよいかを考える。
y=x2-4x+3について
y'=2x-4
点 (43) における接線の方程式は
3=4(x-4) すなわち y=4x-13
与えられた連立
点 (03) における接線の方程式は
不等式の表す領域
は、 右の図の斜線
3-4(x-0) すなわち y=-4x+3
y=x2-11
5
この2つの接線の交点
部分(境界線を含む)
である。
Vy
y=x+5
y=-3x+9
の x 座標は, 方程式
3
4x-13=-4x+3
よって, 求める面
積Sは
S
=(x+5)(x-1)}dx
+(3x+9)(x-1)}dx
=S'(x'+x+6)dx+f(x_3x+10)dx
3
--++6x+x²+10x]
20
-27 12
-1-1
x
を解いて
2
0
4
x=2
図から, 求める面積 S
は
10-1
S
2
=
={(x2-4x+3)-(-4x+3)}dx
+f(x-4x+3)-(4x-13)}dx
2
=(-1/3+/+6)-(+2-12)}
8
+-1-6+20)-(-1/3/2/2+10)}
=Soxdx+$2(x2-8x+16)dx
+
-4x2+16x
3
50
3
別解領域を、下の図のように分けて考えると
S
=S_{3_(x-1)}dx
-2
+-(2-(-2)-(6-3)
(x+2)(x-2)dx
(2-(-2)3 50
+6
+6=
6
3
-2
2
X
8
=(2-0)+1-64+64)-(9-16+32
= 16
別解放物線と2つの接線で囲まれた部分は,直
線 x=2に関して対称であるから,その面積は
2∫{(x2-4x+3)-(-4x+3)}dx=2

解答編
129
数学Ⅱ
A・B・C問題
180
■問題の考え方
基本的な考え方は問題 479 と同様である。 接
線の方程式を求め、 それぞれのグラフの位置
関係を図示して計算すべき定積分を考える。
y=xx+3について
おける接線の方程式は
y'=2x-1
481 y=x3-3x2+3x-1について
y'=3x2-6x+3
点(0, -1) における接
線の方程式は
y+1=3(x-0)
すなわち
y=3x-1
この接線と曲線の共有
点のx座標は, 方程式
接点の座標を (t, t2 - t+3) とすると,この点に
y-to-t+3)=(2t-1)(x-f
すなわち
y=(2t-1)x-t2+3
...... ①
これが点 (1, -1) を通るとき
-1=(2t-1)・1-12+3
すなわち
整理して
t2-21-3=0
を解いて
これを解いて
t=-1,3
よって、2つの接線の方程式は,①にt= -1,3
を代入して
y=-3x+2,y=5x600
3
るときの
TS
2
M
-1
3
0
(1, -1)x
実
まれた
掛けする。
図から、求める面積Sは
S={(x_x+3)-(-3x+2)}dx
-1
(x²-x+3)-(5x-6))dx
186
+
=S(°+2x+1)dx+f(x-6x+9)dx
=2(x+1)dx+(x2-6x+9)dx
=2[+]+[-30°+9x] =1
S_(x+2x+1)dx+{(x-6x+9)dx
=S'(x+1)dx+S,(x-3)dx
0
71
Jo
別解 [積分の計算]
73 16
3
y
x3-3x2+3x-1=3x-1
x2(x-3)=0
x=0,3
グラフは図のようになり
3
0≤x≤3 x³-3x²+3x-1≤3x-1
よって, 求める面積Sは
S=∫{(3x-1)(x-3x2+3x-1)}dx
すなわ
この
-(-81 +27)-0-27
式=
482問題の考え方■--
絶対値を含む関数は, 絶対値をはずして考え
る。 グラフを図示し, 求める定積分を考える。
別解 求める図形の面積を単に定積分で計算
してもよいが,図を見て計算量を減らすエ
夫を考える。
|x2-x-2|=|(x+1)(x-2)
-1≦x≦2 のとき
|x2-x-2|=-(x2-x-2)=-x2+x+2
x≦-1, 2≦xのとき
|x2-x-2|=x2-x-2
-1≦x≦2 のとき, 曲線と直線の共有点のx座
標は, 方程式
-x+x+2= x +1 すなわち x2-1 = 0
を解いて x=±1
x1, 2≦x のとき, 曲線と直線の共有点のx
座標は, 方程式
122-12-2
xx2=x+1 すなわち x²-2x-3=0
を解いて
16
+
·(x-)
=
3
x=-1,3
9956

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

直線と曲線の交点または接線が二つのxの赤線の範囲です。

問題をみますと、二つに区切られている場合は曲線1つに対して2直線が囲む範囲の場合もあります。この場合はx座標の交点が曲線と小さい方を1つめの範囲とし、次に曲線と2本目の直線との交点を範囲とします🙇

いちごヨーグル

ありがとうございます！助かりました！！