Question

れもん

赤線部について質問です。 両辺を２乗した方程式の解は元の方程式の解とは限らないのに、なぜ二乗してxを求めて元の方程式を満たしていれば良いとなるのでしょうか🙏🙇🏻‍♀️

令和6年度 60期 【総合数学】 第1章 関数
B 無理関数の応用
応用例題 2
関数y=√x+2のグラフと直線 y=xの共有点の座標を求めよ。
考え方
x+2=xの両辺を2乗した方程式の解は, もとの方程式の解とは限
らない。得られたxの値がもとの方程式を満たすかどうかを調べて
解を決定する。
解答
√x+2=x
①
y1
y=x
の両辺を2乗して整理すると
2
x2-x-2=0
y=√x+2
これを解くと
x=-1,2
-2,
このうち, ①を満たすのはx=2で,
このとき①の両辺の値は2である。
よって, 求める共有点の座標は
(2,2)
2
<補足> x=-1 は, 関数 y=-√x+2 のグラフと直線y=x の共有点のx座
で, 方程式 -√x+2=xの解である。

逆関数 無理関数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ヒラリバタフライ男爵

簡単に回答します。

■なぜ元の方程式を満たせばいいか？

方程式の解というのは「代入したときに等式を満たす値」のことですよね。
なので、どんな経緯で入手した値だったとしても、代入して等式を満たしたら解だと言えます。

今回の例だと、2 乗したあとの方程式の解は元の方程式の解とは限りませんが、x = 2 のほうは代入してみたら ok だったので、それでよし、ということです。

極端な話、「サイコロを振って 2 が出たから」という理由でも、代入して成り立ったら解としていいです。
（実際は つっこまれるでしょうけど、数学的には正しい）

■「元の方程式の解とは限らない」とは？

ただ実際は、偶然というわけではなく、ちゃんとした理由があります。

両辺を 2 乗した方程式の解は、確かに元の方程式の解とは限らないのですが、まったく別ものというわけでもありません。

例えば、
・元の方程式の解が x = 2
・両辺を 2 乗した方程式の解が x = 3, 5
みたいなことは、絶対にありません。

必ず、元の方程式の解を含みます。例えば、
・元の方程式の解が x = 2
・両辺を 2 乗した方程式の解が x = -1, 2
のような感じです。

言い方を変えると、元の方程式の解を含んだまま、余分な解が追加される、ということです。

なので、2 乗した方程式の解 2 つのうち、必ずどちらかは元の方程式の解になりますし、それで全ての解を求めたことになります。

不明な点があったらコメントください。
分かる範囲で答えますので。

れもん

理解出来ました🙏✨
とても分かりやすい説明ありがとうございました！！😊