Question

りり

演習15で、両辺に√nをかけた不等式について、n=kの時に両辺に√(k+1)を加えて証明しようと思いました。(今まで解いていた問題だとこのような解き方でしたので…)
そうしたら3枚目の最後の式から0以上であることを言えないために、証明できませんでした。

みなさんはどの時点で√(k+1)を両辺に加えても証明できないと気づきますか？

3
となるので,①は成り立つ。
1
1
+... +
<2-
12
22
ne
n
1
n=2のとき,
1
+
5
12
4
22
,
1
=
2-
2 2
n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つとすると,
1
1
1
・+・・・+
<2-
12 22
k2
k
①でn=k+1とした式
1/3+/12/2++//+(k+1)=
1
1
1
<2
3
k+1
を②から導けばよい.
ここで,②③の左辺どうし,右辺どうしの差を不等号で結ぶと,
(k+1)2 < (2-1+1)-(2-1)
4
④が成り立つことが示せれば, ② + ④ から ③ を導くことができる.そこで, ④
を示すことを目標にする. そのためには, (④の右辺) (④の左辺) > 0 を示せ
ばよい.
=
(2)-(2)-(1)
(k+1)2-k(k+1)-k
k(k+1)2
1
1
1
1
k
k+1
(k+1)2
1
>O
k(k+1)2
よって、 ①は数学的帰納法によって証明された.
注②の両辺に
1
(k+1)2
を加えると,
1 1
1
12
+ +…+ +
22
k2
1
(k+1)2
1
<2- +
k
(k+1)2
1
1
これから 2 +
<2-
k
(←④) を示せばよいとしても
(k+1)2
k+1
よい。
15 演習題 ( 解答は p.78)
←
③の左辺は、②の左辺に
1
(k+1)2
を足したものなので
②と③の差に着目する.
<a<bかつc <d
⇒ atc<b+d
という不等式の性質を用いている。
1+√2+√3+√m
数列 {a} を am=
で定める.このとき, すべての自然数nに
n
2n
3
ついて、不等式 2/ <a が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。
帰納法の使いやすい形に
(信州大・医一後)
して証明する.
70

S
an+1
aplap
1+2
(-)-(4)--
Ap
(an
1
1+2
Ap
Ap
1
\1+2+22
(4)*2*3*(an-22-p)23
1
1+2+2+... +21
(2-)2n
12-1
(1)(a²)
(3) (2) n=2, a1=4, p=15として,
Ap
a32-15
a3+√15>1とから,
a3-15
1
①
k+1 <
両辺が正なので,3倍して2乗して]
⇔ (2k-1)(k+1) <4k3
ここで, (右辺) - (左辺) は,
4k(2k-1)^(k+1)=4k (4k2-4k+1)(k+1)
=4k-(4k3-3k+1)=3k-1>0
よって、 が成り立ち, 帰納法により①が示された。
16 (3) (等差) × (等比)の計算は, 03参照。
12
(1) a2= ・2a1= ー・4=6
解
1
..
(as-√15) (a3+√15)
603
12
ag=
2-11
12
1
<
a₁
3.14
105
12
an+
(+15)
an
1
603 a3+15 603 216-103
(4) α=4,p=15のとき, an+1=
15
31
より, a2= 4+
2
1921
496
= 3.87298･･･
a-( 31+ 15.8)=
31
(1)(3)より, 43- <√15 ≦ 43 だから,
3.87297.15 ≦3.87298･･･ より, 答えは 3.8730
1
105
(£)
6302
an の分母を払った式 (以下の①) を証明する.
1.8
3
2
6
6
11
=1122=12
(2a1+3a2)= (4+18)=
(2a+3a2+4a3)=(22+48)=20
a5= -(2a1+3a2+4a3+5a4)=30
4-17
a2=2・3, a3=3・4, ax=4・5,556より
an=n(n+1) と予想できる.
(2) n=1のとき予想は正しい.
n≦k (k≧1) で正しいとすると,
ak+1=
12
(m+1)m(m+1)
k(3k+5)m=1
wwwwwwwwwwwwwwww
k
12x=12(m3+2m²+m)
m=1
=3k2(k+1)2+4k(k+1)(2k+1)+6k(k+1)
=k(k+1){3k(k+1)+4(2k+1)+6}
=k(k+1)(3k2+11k+10)=k(k+1) (k+2)(35)
15
2n
1+√2+... +√n
解
<an=
nをかけて,
3
√n
√ <1+√2+√3++√
①
これよりk+1=(k+1)(k+2) となり、数学的帰納法
により予想が正しいことが示された.
これをnについての帰納法で証明する.
n 2kak
(3) Σ -=Σ(k+1)2=Sとおくと,
k=1 k k=1
S=2.2'+3・22+…+n2-1+(n+1)2"
(+税)
n=1のとき, 12/31/T <1でO.K.
n=kのとき, 成り立つとする.
k√ <1+√2+√3++√.
2S=
2.22+..+(n-1)2"-1+n2"+(n+1)2"+1
であるから,
②
S=2S-S
①でn=k+1とした式,
G
(k+1)√k+1 <1+√2+√3+... +√k+1...
3
が,②から導ければよい。 ② ③の左辺どうし, 右辺ど
うしの差を不等号で結ぶと,
=-2.2'-(22+..+2"-1+2")+(n+1)2+1
=(n+1)2"+1-22.
=(n+1)2+1_(2n+1-4) -4=n2"+1
(+
2-1-1
-4
2-1
注 (1) anがすぐ予想
al a2 a3 a4
a5
3
1 (k+1)√k +1-21 k√ <√k+1
できなかったら階差をとっ
I
||
||
④
これを示すことができれば, ②④で③が示せる.
てみよう. 階差は初項4 2 6
公差2の等差数列と容易に
12 20 30
468 10
予想できる .

・15
. 1532 An=
①のとき
h
2<an-②が成立することを
2n
+-+
<an=
の両辺に何をかけたくな
数で示す
n
について、数で示す。
D
(1) n=1のとき
///<1より①は成立する
(1)n=(た自然史)のと①が成立すると仮定する
①の両辺に「材を加えると
£√b + the < 1 + + SF +54
このとき
3/3+ (おい)の}
++
(+2+2+1)
・1/2+1+1}
// 1-2f++
②

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

いや、√(k+1)を加えてもできます
やっていることは同じですから

あなたの②の式から模範解答の③を示せればよい
そのためには、③の左辺<あなたの②の左辺を示せばよい
そのためには④が示せればよい、
と流れていきます

方針の問題ではなくあなたの処理の問題です
答案の「このとき」の次の次の行から、
その次の√の入った式が違います
あなたはA+B+Cを√(A²+B²+C²)としていますが
これは成り立ちません