Question

ともよ

漸化式の問題です。(1)のb n+1からb nがすぐに求められるのはなぜでしょうか。解答の「nと関係のない〜」から分かりません。

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319 (1) b n+1=an+1+p(n + 1) + q
12+V
(n+1)+q=TO
=(3an+8m)+p(n+1) +q
=3a+8n+pn+p+q
=3(bm-pn-g)+8n+pn+p+q
=36„+(8-2p)n+p-2g
数列 {6} が等比数列であるとき, nと関係のな
い定数を用いてb+1=b"と表されるから,
すべての自然数nに対して
(8-2p)n+p-2g=028
が成り立つ。
すなわち
8-2p=0, p-2g=0
これを解くとp=4,g=2
(2) b=a+4n+2とおくと
bn+1=3b", b1=a1+4+2=4
よって, 数列{bm} は初項4,公比3の等比数列
であるから
したがって
b=4.3"-1
n
an=b-4n-2
=4.3"-1-4n-2

319 次のように定められた数列{a} を考える。
α=-2, an+1=3a,+8n (n=1, 2, 3, ......) >
(1) b=a+pn+g (n=1, 2, 3, ......) とおくとき, 数列 {6} が等比数列に
なるように定数, gの値を定めよ。
(2) 数列{an} の一般項を求めよ。
[10 名城大]

漸化式 数列

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

b[n+1]＝3b[n]+[8-2p]n+p-2q
という式が出てきましたが、問題文にあるように、b[n]は等比数列なので、b[n+1]はb[n]を何倍かしたものになっているはずです。だから解説にはrを用いて、
b[n＋1]＝r・b[n]と書いてあるのです。
そして、等比数列なら、+[8-2p]n+p-2q　最初に書いた漸化式のこの部分はいらないわけです。だから、
(8-2p)n+p-2q＝0　となり、nは任意の整数なので、
8-2p＝0、p-2q＝0　が成り立つわけです。
いかがでしょうか。

ともよ

なるほど！ありがとうございます🙏