Question

あゐ

この問題について 、解答と違うのですが 、この場合も 証明できてるのでしょうか？
不等式を二乗する時は注意しなければいけませんが、 a も正 b も正なので、単純に2乗していいと思いました。

予習のための自習問題 101
a, bが正の数のとき,不等式
a+b ≥ √ab
2
が成り立つことを示せ.また等号が成り立つための条件を求めよ.

夜a>0
670
a=12
b = 3
7536
atb
2
ab
α=2
18
534
両辺を2乗するとー
a2abtb2
4
≧ab であり
a2+2abtb-4ab
4
30であり、
(a-x
=D
4
である
(a-b)23:0であるから、
(ab)
2
4
a+b= √ ab
2
lab が示せる。
証明おわり

解答
a>0.6>0よりa=(Va)', b=(V6) 2
a+b - √ab
Vab=
(Va)2 + (V6) 2
2
- √a. √b
=
2
(Va)2-2V・V6+(V6)2
2
(va-V6) 2
==
≥ 0
2
a+b ≧ Vab(等号はa=bのとき成立)
2
(おわ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

らい

この方法はダメです。
証明したい不等式をそのまま変形すると、その不等式自体がすでに成り立っているとみなしてしまうので、解答のように差をとって≧0を示します

あゐ

たしかにそうですね！根本的にまちがってました!ありがとうございます！

Answer 2

ふぃる

(a+b)/2≧‪√‬abを示したい、つまりこの不等式が成り立つかはまだ分からないのでこの不等式が成り立つことを前提とするような説明は論理が通っていません(同値変形なら良いですが)

以下の事実を使うことで二乗しても示せます。
x,y≧0の時、x≧y⇔x²≧y²
今回の場合xが(a+b)/2,yが‪√‬abに当たります。
それから、不等式の証明は差を取って0以上を示すのが基本です。

以下、これを使った解答です。

((a+b)/2)²-(‪√‬ab)²
＝(a²+2ab+b²)/4-ab
＝(a²-2ab+b²)/4
＝(a-b)²/4≧0 (等号成立はa=b…(＊))
よって、((a+b)/2)²≧(‪√‬ab)²が示された
ここで仮定より(a+b)/2≧0,‪√‬ab≧0であるから、
(a+b)/2≧√‬abが示された。
また、(＊)より等号成立はa=b

あゐ

なるほど！そうなんですね！わかりました！ありがとうごさいました！