基礎問
232 第8章 ベクトル
148 角の2等分ベクトルの扱い(II)
AB=5, BC=7, CA =3 をみたす △ABCについて,次の問い
に答えよ.
(1) ∠Aの2等分線と辺BC の交点をDとするとき,ADをAB.
AC で表せ.
(2) ∠Bの2等分線と線分ADの交点をⅠとするとき, AI: ID
を求めよ.
(3) AI を AB, ACで表せ.
(4) 始点を0とし, I を OA, OB, OC で表せ.
(3)
(4)
8.3AB+5AC
Ai-15 AD=15
15
85AC-3AB+5AC
Ai=oi-OA,AB=OB-OA, AC-OC-OA
15AI=3AB+5AC にこれらを代入して
.
15(OI-OA) = 3 (OB-OA)+5(OC-OA)
Oi=
70A +30B+50℃
15
始点を変える公式)
AB=□B-□A (□は新しい始点)
参考
233
PL
(3)の式を利用する
(4)の結論を見ると, OA, OB, OC の係数が、3辺の長さにな
相手は
っています. これは偶然ではなく, 一般に, 次の式が成りた
つことが知られています. (マーク式では有効な知識です)
右図のような △ABCにおいて,
内心とすると
C
b
01=40A+6OB+coc
B'
a.
IC
a+b+c
精講
(1) 角の2等分ベクトルの扱い方の2つ目です.
右図のとき 次の性質を利用します。
AB: AC=BD:DC (I・A53
三角形の内角の2等分線は1点で交わり,その点は,
内心と呼ばれます. (IA52
0
BD
C
証明は演習問題 148です. 誘導にしたがってがんばってみましょう。
これは「始点を変えよ」 ということですが,この結果が問題なのです. ゥ
このようにきれいな関係式がでてきます。 たまには, 数学の美しさを鑑賞す
