Question

Ｊ

不等式の証明の問題なのですが、(3)が全く分かりません🥲解説よろしくお願いします

13 不等式の証明
(1)x²-6.x+130 を証明せよ.
を証明せよ.
(2) (a+b)(x+y2) ≧ (ax + by
また、等号が成立する条件も求めよ.
(i)
6 +1 ≧2 を証明せよ.
(3) a>0b>0 のとき
b
a
a b
また,等号が成立する条件も求めよ.
(6)(a+b) ( 123+1/2)の最小値を求めよ.
不等式 A≧B を証明するとき, 次のような
青講
I. A-B=･...........≧0
II. A=............≧B
Iは, AとBがともに式のとき ((2))
IIは, Aが式でBが定数のときに使うのが普通です。
三数のときはたいていの場合, Aの最小値を考えること
2), 不等式の証明は、ある意味では最大値・最小値を
解答
(1)
2-6.x+13=(x-3)2 +4>0
(2) (左辺) (右辺)
=(a²x²+a²y²+b²x²+b²y²)-(a²x²+2abxy+b²
2 2
2
2

(3) (1) (左辺) (右辺)=
b a
よって, +
a
b
a
+
a
b
-2
a2-2ab+b2_(a-b)2≧0
ab
ab
-≧2 等号は a=bのとき成立
(別解)a>0,60 だから, (相加平均) ≧ (相乗平均) より
(ii)
b a
a
=1
1 (0+6)=√ √6.0 = 1
2
a
a b
1+1/≧2等号はa=b のとき成立
(a+b)(1/2+1/2)=2+1/+0
b a
(i)より、1+1=2だから、
a b
(a+b)(1+1/2) ≧4
a
等号は, a=bのとき成立するので,
注 参照
注
最小値 4
A≧4 であっても 「Aの最小値は4」 とはいえません.それは,
号 「≧」の意味が > または」だからです.
たとえば, Aを私の所持金として, 仮にいま1万円持っていると
ます.このとき, A≧4 (円) は不等式としては正しいのですが、私
所持金が4円すなわち, 等号が成立するわけではありません。
ポイント A≧B を示すとき
演習問題 13
I. AもBも式だったら, A-B≧0 を示す
Ⅱ. Bが定数だったら, A の最小値を考える
a0b>0 のとき,(a+1)(6+1) ≧9 を示し,等号が
≥9
る条件も求めよ.
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