Question

みえ

高校生数学、分数数列の和です。
下の問題がわかりません、、。どうしてこの分数の、第k項の分母が(3k-1)(3k+2)になるか、も含めて解説してほしいです🙇‍♀️

382
基本 例題 21
分数の数列の和
00000
数列
1
1
1
2･5'58' 8・11'
…の初項から第n項までの和を求めよ。
重要28
CHART & SOLUTION
分数の数列の和部分分数に分けて途中を消す
分母に着目すると,第に頃の分母は (3k-1)(3k+2)
このような形の分数は 部分分数に分けて差の形にすることができる。
1
を計算すると
3k-1
3k+2
よって
3
(3k-1)(3k+2)
*7 (3-1) (3k+2)=3(3k²-1-3k²+2)
この式に k=1,2,…, n を代入して辺々を加えると,隣り合う項が消える。
解答
この数列の第ん項は
1
(3k-1)(3k+2)
1
k-1)
1 (3k+2)-(3k-1)
=
(3k-1)(3k+2)
3 (3k-1)(3k+2)
(34-1-3k+2)
inf. 次の式の変形はよく
利用される。
a≠b のとき
1
(k+a)(k+b)
1 (k+b)-(k+a)
b-a
(k+a)(k+b)
1
1
b-ak+a k+b
部分分数に分ける。
この式に k=1, 2,
n を代入して,辺々を加えると
1
=-
1
1
1
1
+ +
+
2.5 5.8 8・11
(3n-1)(3n+2)
1/1 1
1 1
1 1
1+
+
32
5
35 8 38 11
1/1
……+
●=1/11/21)+(1/1)+(1/11)
=
13n+2-2
- 13 (½-3n+2) = 3 2 (3n+2)
n
3 3n-1 3n+2,
3n+2)}
3n-1
3n+2,
途中の
1 1
5'8'11'
3n-1
.......
-
が消える。
2(3n+2)
1,2を代入して検算
しておくとよい。
基
C

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

分母の積の左側は2,5,8,……で初項2,公差3の等差だから
第k項は2+(k-1)×3 = 3k-1

同様に右側は5,8,11,……で初項5,公差3の等差だから
第k項は5+(k-1)×3 = 3k+2
上の結果よりつねに3大きいから3k-1 +3
と考えてもいいですね

これらの積だから、第k項は1/(3k-1)(3k+2)です

みえ

理解できました！ご丁寧にありがとうございます！