・数2 黄線部分が何を意味していていて、どうやってできているかわからないです

Mathematics

高中

已解決

29天以前

り

・数2

黄線部分が何を意味していていて、どうやってできているかわからないです
よろしくお願いします

418 平面上の点(a, b) が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき, 点(a+b, ab) の動いてできる領域を図示せよ。 [類島根大]

数学Ⅱ 問題演習問題 + CP 半径解答編 133 よって1-1=1212 ここで,点(x1, Y1) は円 C, 上にあるから x 2 +y12=4 ③②に代入すると ③ly すなわち 1 > ......① 2 0001- |2x1-2|=1 90 また, a, b は-ut+v=0の2つの実数解でゆえに x₁ = 3 1 2' ある。判別式をDとすると D=u²-4v A (1, 1) B(31) x=1232 のとき,③から √7 =土実数解をもつための必要十分条件はD20であ 280 るから u²-4v≥0 接線の方程式は,①から 3x±√7y=8 u² うして解くと y=-x+4 y₁ =±- x = 1/12 のとき,③から接線の方程式は,①から 15 すなわち ② 4 430 2 ①,②から u² 1 u² MIx ±√15y=8 <u≤. 2 以上から、求める4本の接線の方程式は 3±√7y=8,x±√15y=82 Pの座標は -1)²=√10 417 点Pの座標を(X, Y)とする。点Pから放物線y=x2 に引いた接線はx軸に垂直でないから,その方程式は m 変数を x, yにおき換えて x2 x² 1 2 また,y=2x4y=2x12-12 を連立して解くと 4' 000- √2 081 ...... ① y=m(x-X) +Y とおける。これを y=x2に代入して整理すると x2_mx+mX - Y = 0 心中央したがって, 求める領域は右の図の斜線部分である。 y 2. PI ありこの2次方程式の判別式を D1 とすると D=m²-4mX-Y) =m²-4Xm+ 4Y ①は放物線y=x2 の接線であるから, D1=0で m²-4Xm+4Y = 0 ...... ② ただし,境界線は放物線 x21 y=x-12 上の点を含 22 -√√2 √2 x まないで,他は含む。接線が2本引けるから,傾きについての2次方程式 ② が異なる2つの実数解をもつ。 419 (1) () 巨離は (S) (2) 540°=180°+360° [図] よって、②の判別式を D2 とすると (3) [図] D2=4x²-4Y>0 (4)-405°=-45°+360°×(-1) [図] 4 Q の最小値は (1) ゆえに X-Y>0 ③ (T) P 半径) このとき②の2つの実数解を m, m2 とすると, 2 接線が直交するから 431 mm2=1 540° Jei また,解と係数の関係から mm2=4Y 1 よって 4Y=-1 ゆえに Y=-- a004 P 0 X ( 100° 3+ このとき,③から x+1/30 (3) これは常に成り立つから, Xは任意の実数の値をとる。中したがって,求める軌跡は直線y=- SHOS ASA _-405° -70° X 0 45° 程式は円 C の中いからよって 418 a+b=u, ab=v とおく。 P 点(a, b) は原点を中心とする半径1の円の内部 SA を動くから 2 +62 <1 420 440°=80° + 360° x 1 m 2 すなわち (a+b)2-2ab<1 900°=180°+360°× 2 01-1 u²-2v<1 1520° = 80°+360°×4 80°=280°+360°x(-1)つを

解答

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A.E

29天以前

今回の問題では、点の座標は実数に限定されるため①だけの条件式では複素数を含む範囲まで解として出てきてしまいます。なので、条件式を追加しなければならず②が必要になります。②の条件式(u,vが実数である)を作るために判別式が必要であり、そのためには二次方程式が必要、さらに二次方程式の係数部分と変数を用意しなければという感じで基を辿るとこんな思考で黄色線の部分が出てくるのだと思います。
次に二次方程式がこの形になる理由は、a+b=u,ab=vと置いてあるため、この形を利用します。和がa+b,積がabとなる2数は、二次方程式x^2-(a+b)+ab=0の解になります。そして冒頭でa+b=u,ab=vと置いていたので、二次方程式は書き換えてt^2-ut+v=0とすることができます。
補足ですが、解答を見ると後々x,y(関数として使いたい意図もあると思います。)を使用しているためあえて二次方程式の変数をtと置いているのだと思います。
長くなってしまい申し訳ありません。🙇
何か質問があればしてください。

り 29天以前

かなり理解できましたありがとうございます！
下の画像の赤字の部分の式がどうやってでてくるのかその過程が知りたいです、よろしくお願いします🙇

A.E 28天以前

申し訳ありません。質問の意図が明確に理解できなかったので、回答がずれていたら質問してください。
訂正しておかないといけないのですが、和がa+b,積がabとなる2数は二次方程式x^2-(a+b)x+ab=0の解ではなく係数の間違いでした。すみません🙇
x^2-(a+b)x+ab=0が出る過程ですが、二次方程式の解が分かっている時に解と係数の関係から二次方程式を逆に導くことが出来ます。そして今回の問題では、いきなりt^2-ut+v=0となっていたので分かりづらいと思い。解がa,bであり、その和がa+b,積がabならば二次方程式はx^2-(a+b)x+ab=0になりますよ。そして、a+b=u,ab=vを代入すると解答のt^2-ut+v=0が導きけるという意味で書かせてもらいました。