Question

Hi（受験生）

例題65.1
x≠0という前提が必要なのは、真数条件よりx>0
つまりx≠0ということですか？
また例題65.2でx=0のときを考えているのは何故なのでしょうか？？

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基本 例題 65 逆関数の微分法,x" (カは有理数)の導関数
0000
E
(1) y=x3の逆関数の導関数を求めよ。
(2) y=x+3x の逆関数を g(x) とするとき, 微分係数 g' (0) を求めよ。
(3)次の関数を微分せよ。)
(ア) y=x3
岡の
(イ)y=√x2+3
/p.110 基本事項
指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式
dy 1
を利用して計算する。
dx dx
dy
(1) y=xの逆関数は
x=y (すなわち y=xl
xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をx の関数で表す。
(2) y=g(x) として, (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。
→x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。
(3)
→
(x)' = pxｶ-1
有理数のとき
(1) y=x3の逆関数は,x=yを満たす。
を利用。
(1) y=x3の逆
別解
は y=x33 で
解答
dx
よって
=3y2
dy
ゆえに、x=0のとき
dy 1
1
=
dx
dx
dy
==
1
===
1
3y2 3(v³) 3x
(2) y=g(x) とすると,条件から x=y+3y
たされる。
①から
dy 11 1
=
=
dx dx 3y2+3
g'(x)=.
x=0のとき
dy
2
1
3
IC
dy=(x)=x+
①が満 関数 f(x) とその逆関
y+3y=0 すなわち y (y2+3)=0
y2+3>0であるから
したがって
y=0
1
1
g'(0) =
302+3
3
f'(x) について
y=f(x) ⇔x=f-1(y
の関係があること(p.24
基本事項20) に注意。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

(1)は微分したとき、xやyが分母に来てしまうので、＝0になる値が存在してしまうから、x≠0としています。
かたや(2)は、分母が0になることはありません。3y²+3＝0になることはyが虚数でない限りないですよね。だからx≠0とはしていません。

x=0を考えているのは、g'(0)を求めろって言われているから。

Hi（受験生）

理解できました、ありがとうございます！😭