Question

ウッズ

数列の問題です。(2)を教えてください。

特に、n=2mのとき、∑(a2k-1+a2k)（解説4行目）のところ（(1)の誘導という理由以外で）と、
n=2m-1のとき、S2m=S2m-1+a2m（右列補足）がどこからでてきたのかがわかりませんでした。

青チャート　数B　例題28

要
28
一般項がan=(-1)"n² で与えられる数列{an} に対して,Sn=aとする。
(1) a36-1+a2k (k= 1, 2, 3, ......) をんを用いて表せ。
S= (n=1,2, 3, ......) と表される。
k=1
1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから, 和は簡単に求められない。
次のように頭を2つずつ区切ってみると
S=(12-22)+(32-4)+(52-62)+
=61
=b₂ =63
上のように数列{6} を定めると, bh=a2k-1+azn(kは自然数)である。よって,m
を自然数とすると
[1] "が偶数、すなわち n=2mのときはSum=b=autan)として求め
られる。
1
[2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,S2m=Sim-1+αom より
See Sama2m であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。
このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1) 2k-1a2k=(-1)2(2k-1)'+(-1)2 +1(2k)2
=(2k-1)^-(2k)=1-4k
[1]=2mmは自然数)のとき
=
m
m
Sam (a2k-1+a2k) = (1-4k)
k=1
=m-4.
k=1
-m(m+1)=-2m-m
(−1)=1, (-1)*"=-1
={(2k-1)+2k}
×{(2k-1)-2k}
S2m2= ( a1+a2)
+(α3+α)+.･･
+ (12m-1+(22m)
m=
であるから
2
1Szm=2mmに
n
m= 1 を代入して,n
Sp= =-2(22)-=-n(n+1)
[2]=2m-1(mは自然数)のとき
@2n=(-1)2m+1(2m)24m² であるから
S2m-1=S2m-a2m=2m²-m+4m²=2m²-m
n+1
m=
であるから
2
S,=2(n+1)-n+1=1/12 (n+1)((n+1)-1}
=
2n(n+1)
[1],[2] から
Sn=
(-1)+1
=
-n(n+1)
*****
2
(*)
の式に直す。
◄S2m=S2m-1+2
を利用する。
S2m-1=2mmをnの
式に直す。
(*) [1],[2]のSm の式は
符号が異なるだけだから、
(*)のようにまとめるこ
とができる。

数列

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

nが偶数のとき、
S[n]＝a[1]+a[2]+a[3]+…a[2m-1]+a[2m]
とおくことができます。
指針の3行目にもあるように、奇数項と偶数項では符号が違うので、奇数項と偶数項で分けて和を求めるために、

Σa[2k-1]＝a[1]+a[3]+a[5]+…a[2m-1]
Σa[2k]＝a[2]+a[4]+a[6]+…a[2m]

とバラバラにして和を求めています。

nが奇数のとき、
2m項までの和から、最後のa[2m]を引けば、2m-1項までの和がわかります。
したがって、S[2m]-a[2m]をすれば、2m-1項までの和を求められるわけです。

ウッズ

なるほど！
わかりやすい解説ありがとうございましたm(__)m