Question

くりーむぱん

なぜこの恒等式が急にでてくるんですか、？？
教えてほしいです🙇

ここでは,1からnまでの自然数の2乗の和
第2節 いろいろな数列 | 27 |
n
k²=12+22+32 +......+n²
k=1
を求めてみよう。
*
5
恒等式(k-1)=3k²-3k+1 を利用して考える。
んに1からnまでを順に代入すると
5
左辺だけ加えると
k=1
1¾-0°=3・1°-3・1+1
X3-03
-
k=2
2°-13=3・22-3･2+1
k=3
33-23-3.32-3.3+1
....
33-23
+) n3-(n-1)3
23-03
10
k=nn³-(n-1)³=3• n²−3•n+1
これらn個の等式の辺々を加えると
n=3(12+22+32 +... +n²) - 3(1+2+3+…+n)+1×n
すなわち
n
n
n³-3k2-3 Σk+n
k=1
k=1
n
n=32k2-3n(n+1)+n
n³ = 32 k²
k=1
6k2=2n+3n (n+1)-2n
k=1
n
6k=n(n+1)(2n+1)
k=1
n
よって
k=n(n+1)
k=1
15
n
したがって
Σ k²=1²+2²+3²+......+n²=·
n(n+1)(2n+1)
k=1
練習 恒等式(k-1)^=4k-6k²+4k-1 を用いて,次の等式を証明
27
せよ。
Σ k³=1³+2³+3³+......+n³=
= 1/12n(n+1)}
k=1
*kにどのような値を代入しても成り立つ等式を,kについての恒等式という。
第1章
数列
10
15
20

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

amachan(kane)

後の計算や公式を導くため、です。
特に繋がりはありませんが、この恒等式を使うことで後の公式を導くことができます。公式を導くために出てきたしょうがないもの、と解釈してください。

文ですみません、不明な点あればコメント下さい。。。

くりーむぱん

やっぱりそうですよね、！わざわざありがとうございます😭