Question

nurse

数3の合成関数の問題です、定数aを求める問題なのですが、求め方が全く分からず、苦戦しています。解説の方をお願いしたいです。

(f°g)(x), (gof)(x) はそれぞれの定義域において(f°g)(x)=x, (gof)(x)=xとなる。
追問
x+4
(1) 関数 f(x)=-
について, f-l(x)=f(x) が成り立つように, 定数 αの値を定めなさい。
2x+a

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

f⁻¹(x)=f(x)であるなら、f⁻¹(x)=(x+4)/(2x+a) …　(x≠-a/2)

(f⁻¹◦f)(x)=x　…　f⁻¹(f(x))=xであるので、計算して成り立つようにaを求める
{(x+4)/(2x+a)+4}/{2(x+4)/(2x+a)+a}=x
{(x+4)+4(2x+a)}/{2(x+4)+a(2x+a)}=x
{9x+4(1+a)}/{2(1+a)x+8+a²}=x　…　この時点でa=-1が分かりますが、
分母をはらって、恒等式にすると、2(1+a)x²+(a²-1)x－4(1+a)=0
どんなx(x≠-a/2)でも成り立つには、(1+a)=0、(a²-1)=0、(1+a)=0 ⇒　a=-1

別解
f⁻¹(x)を求めて、f⁻¹(x)=(-ax+4)/(2x-1)が、f(x)=(x+4)/(2x+a)と
同じであることを示してもよいです。a=－1