Question

みみ

tが０以上なら共通接線なのでsも0以上にならなくてはいけないと考えたのですがなぜゼロ以下でも良いのですか？教えて頂きたいです。

共通接線
6k を正の定数とする. 2つの曲線 C1:y=logx, C2:y=ekx
について,次の問いに答えよ.
(1)原点O から曲線 C, に引いた接線が曲線 C2 にも接するようなん
の値を求めよ.
(2)(1) で求めたk の値を ko とする. 定数 k が k > ko を満たすとき
2つの曲線 C1, C2 の両方に接する直線の本数を求めよ.
12
[愛媛大〕
アプローチ
(イ) 2曲線y=f(x), y=g(x)の共通接線の一般的な求め方は, y=f(x)
上の点 (t, f(t)) における接線とy=g(x) 上の点(s, g(s)) における接線が
一致するとして係数比較を行います。あとは s,t の連立方程式を解くこと
になります.
(口) 一般的には (接線の本数) キ (接点の個数)で
す. しかし本間の曲線なら両者は同じとしても
OK です. なぜなら右のように2点以上で接する
直線は存在しないからです .
(ハ)(2)の最後では 「右のグラフのように2本ぐら
い接線は引けそうだ」 という感覚がないとやりに
くいでしょう。この目標に向かって議論を進めて
いきます。
C21
C₁
解答
x=f(0) の点における C1 の接線と x = s の点におけるC2 の接線の
方程式はそれぞれ
い
y = =1(x-1)+log t
→y=-x-1+10g
.........
t
y=keks(x-s)+eks:
:.y
y=keksx-kseks +eks
keksx-kseks+cks.........@
(1) ①が原点を通るとき
0 = -1 + logt
1
t=e

47 -6
e
このとき①はy=-x となり,これが②と一致するとき
keks = 1/1
- kseks
eks
= 0
この第2式からks =1で,第1式から
ek (1-ks)
フォロー
eks
1
1
e=
ke
ke
k =
1
e2
(2)条件より
k> ko =
=1/12
③3
① ②が一致するとき
1 = keks.
・④, -1 +logt = -kseks+eks....
5
④ ⑤を同時に満たす実数の組 (s, t) の個数が共通接線の本数になる.そこ
④:t=
keks
⑤に代入すると
fon
-1+ log
1
keks
-kseks + eks
成立
KS
* =
-
-k
Akers=
-ks e
ekskseks+ks + log k + 1 = 0
-Ke
i-k
6
sが1つ定まれば④よりも1つ定まるので, ⑥を満たす実数 s の個数が求
めるものである. ⑥の左辺をf(s) とおくと
mil
A=f'(s) = keks-keks-k2seks+k=k(1-kseks )
s≦0 のとき f'(s) > 0
(. k > 0)
s>0のとき,k > 0 より seks はsの増加
関数だから, f'(s) は減少関数である. こ
れと lim f'(s) = -∞ により f'(s) = 0
S→∞
となるはただ一つだけ存在し,その値を
α とする. これより右下表を得る.
また
8
f(s) = seks (+
815
......... (*)
増減は不明だが符号は正
a
S
単調に減少し
∞に発散
mil
\y = f'(s)
S
a
log k+P
f'(s)
+
0
-k +
f(s) 1
S
eks
〔∞x(-k)=-∞]
-8
lim_f(s) =-∞
8118
であり、③を用いると
seks
(*)..
≤0
Tim =
6

S(0) = logk +2 >log/1/12+2=-2+2=0
=
の本数は2である.
だからy=f(s) のグラフの概形は右図の通り. したがっ
て, f(s) = 0 は異なる2 実数解をもつので,共通の接線
e2
いた
正
Ay
a
S

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

1/t= ke^(ks)なのでt>0のとき1/t>0だからke^(ks)>0となる。
ここでy=e^xのグラフを考えると、xの値が-∞に限りなく近づいても、e^x≧0を満たしているので、k>0のときは、ke^(ks)>0を満たすようなsの値は-∞≦s≦∞の自由の値を取ることが出来る。