Question

えびふらい

「また」の後のAMとANのところが理解出来ませんでした。解説お願いします！

解答
OG OA+OB+OC
==
3
OM= 3³ ³ OB, ON= 11-OC
50+80
N
M
P
B
点Pは直線OG上にあるから,
A
OP-ROG
G
k
3
= (OA+OB+OC) …①
C
また,点Pは平面 AMN 上にあるから
204
OP=OA+xAM+YAN
k
k
=1-x-y,
=
3
3
5
5
x=
9
=OA+x(OM-OA)+y(ON-OA) AO
=(1−x―y)OA+xOM+yON
-(1-2-y)OA+OB+OC-2
=
①と②の係数を比較して
1-1-1-v, -31. 1-1/
k, y=1/23k より
k
=
5
31
5,3
k = 1-
1-5k-5 k
23k=1
9
k=
3
23
3
=
23
よって, OP-22 (OA +OB+OC)
500
9
*, OP=OG, OP: OG=9: 23
23

ベクトル 直線と平面のベクトル

Answer 1

きらうる

OP=OA+xAM+yAN
なぜこんな式になるのかわからないということで良いですか？

えびふらい

そうです。質問以降は理解出来てます

きらうる

時間がたって申し訳ないです。もう解決していたら重複してしまいますがご容赦ください。

平面AMNにおいて、平面上の点AからPまでのベクトルは、x,yを用いて
AP＝xAM+yAN
とおくことができます。これは、A,M,N,Pが同一平面上にあれば、必ず成り立つ式になります。APベクトルはAMとANを何倍かすれば必ずA→Pまでのベクトルは作ることができますから。
だから、
OP＝OA+AP　から
　＝OA+xAM+yAN
と置いているのです。

ちなみに空間ベクトルにおいて、ある1点Oから平面上のある点Pまでのベクトルは、平面上の3点A,B,Cを用いて、
OP＝xOA+yOB+zOC　(x+y+z=1)
というベクトルで表すことができます。
これを直接使うと、②の1行前の式
(1-x-y)OA+xOM+yON
と書くことができます。