学
ヨ
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重要例題
2つの関数f(x)=x²-2x+a,g(x)=-ax2+2x が, すべての実数 X1, x2 に対し
71 2つの2次関数の大小関係
てf(x)>g(x2)を満たすとき,定数αの値の範囲を求めよ。
例題65
指針 「すべての実数x」について不等式が成り立つ問題 (絶対不等式) は例題 65で学んだが、
f(x)-g(x) を計算してもうまくいかないので, グラフを利用することを考える。
「すべての実数x, x2」で成り立つとなると事情が異なってくる。んだが、
2つの関数のグラフの位置関係を考えると,図 [1] のような場合はダメで,図[2]のよ
うにy=f(x)のグラフがy=g(x) のグラフの上側にあればよいことがわかる。
[1] y A
g(x)
f(x)
y=f(x)
[2] y
最小値
y=g(x)
図のxxで
f(x)<g(x2)
最大値
y=g(x)
すべての実数
xxで
f(x)>g(x)
x
x
I
«
1
解答 すべての実数 X1, X2 に対してf(x1)>g(x2) が成り立つた a<0, a=0のとき
めの条件は,関数y=g(x) のグラフが上に凸の放物線で、
かつ [f(x) の最小値]>[g(x)の最大値]
となることである。
数g(x)はいくらでも大
きな値をとるから,どん
f(x)についても、そ
れより大きい g(x)の値
が存在する。
このときa>0で
9(x) = -a (x−−1)² + 11/1
A
y=f(x)/
a
また
f(x)=(x-1)2+α-1
最小値
最大値
よって,g(x)の最大値は 1/1
0
x
f(x) の最小値は α-1
であるから a-1>
1
30
a
y=g(x)
両辺に α (0)を掛けて整理すると
a²-a-1>0
これを解いて
a<
1-√5 1+√5
2
,
2<a
a > 0 であるから
1+√5
a>.
2
8
<a-a-1=0 の解は
1±√5
a = 1
81 a: 2
を
①
③
(注意
CHAI
22
2次
とす
f(x)
