Question

みみ

数3の複素数の問題なのですが、参考の説明でw＋w_＞0が成り立つ理由が分からないので教えて頂きたいです。

ぇを複素数とする。複素数平面上の3点A(1),B(2) C (22) が鋭角三角形をなすような点ぇの
範囲を求め, 図示せよ。
東京大
A, B, C が鋭角三角形をなすための条件は、次の (i), (ii),
344

(ii)
3点 A, B, Cが一直線上にない。
互いに異なる。
角三角形は
その逆
(iii) AB‘+BC">CA2 かつ BC2+CA > AB2 かつ
((i)から
また,
CA2+AB2BC2
z≠1, z2≠1, z2キス
z²-1
2-1
数学 C159
←(i), (ii)は3点A, B,
Cが三角形をなすための
条件。
これぞ忘れないようにすること
ゆえに z≠0, z≠±1 …
①←z=1から
-=z+1であるから, (ii) より z+1は実数ではない。 =zから2(2-1)=0
すなわち,zは虚数である。
ここで,zが虚数である, という条件は ①を含んでいる。
(血から
||z-1|+|z2-z|>|1-222
122-z+11-22> |-1|
[1-2+|2-1|>|-
(z+1) (2-1)=0
前へ出す
||z-1階+|2||z-1|>|z+1||z-1°
必要
計算の工夫が①まず余分なものは
ゆえに
12|z-1F+12+1/2-1>/z-1
|z+1||z-1[+|z-1>|2|z-1|
3章
[或[複素数平面]
EX
z=1であるから,各不等式の両辺を z-12 (>0) で割ると
②から
[1+|z|>|z+1|
{z+z+1>1 ... (3
||z+1/+1> | z|2
1+zzzz+z+z+1
(4)
z+z <0 すなわち (zの実部) <0 ...... 5
zzzz++z +1>1
←la|=||||
←z+1=(z+1)(+1)
虚軸より左側の部分。
よって
③から
Z
よって
22+
+各
2
ゆえに
(z+1/2)(2+1/2)-(1/2) 20
>0
よって12+1/2>(12/21) すなわち 12/1/12/1/2
④から
zz+z+z +1 +1>zz
ゆえに
z+x-2
よって
z+2>-1
2
すなわち (z の実部) > -1
求めるxの範囲は ⑤ ⑥ ⑦ の表す
図形の共通部分から実軸上の点を除い
たもので、右図の斜線部分のように
なる。ただし、境界線を含まない。
←点-1/2を中心とする
半径 1/2の円の外部。
12
[0
←点-1を通り, 実軸に
垂直な直線より右側の部
x分。
12
補足 ⑤ ⑥ ⑦ から,
条件 (iii) は, 条件 (i) ()
を含んでいることがわか
る。
解答 (iii) は,次の (iii) のように角の条件に着目してもよい。
A(a),B(B), C(y) とし,
β-a
W₁ =.
y-a'
α-B'
W3=-
B-Y
とすると

(*) かつ argwi≠0
←3つの角がすべて
π
<argwi<
2
(i=1, 2, 3)
であるための条件
A<AQ+
偏角は負の値をと
ここで, (ii) が満たされるとき, argwi≠0 (i=1,2,3) であもあることに注意
る。また,一般に複素数 w に対し、
π <argw<
Π
⇔w+w>0
← 「実部が正」と
2
2
とである。
z-1
1
2
z²-z
であり, w=
=
W2=
= -Z,
z²-1
z+1'
1-z
1-22
W3=
=
2
2-2
2+1
1
Z
+
であるから, (*)は
z+1 z+1
>0
A
B
となる。
©
(-2)+(-2)>0
z+1 z+1
+
>0
Z
A の不等式の両辺に(z+1)(z+1)(=|z+1>0) を掛けて
2+1+2+1>0
Bから
z+z
よって
>-1 <+ ←解答と同様に,
2
(z の実部) >-
のと、
の形にする。
Its
©の不等式の両辺に(=z1>0) を掛けて
z2+2+2+z> 0
よって 12+1/22+1/220
ゆえに
12+1/2> (12/2) すなわち 12+/12/1/2
以上から、解答の⑤,⑥, ⑦が得られる。 以後は解答と同じ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

赤い彗星

これでどうでしょうか？