Question

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求解(任一題都可以！！！)
A:P(3,2,1)、√6/24

11. 在坐標空間中,P點在平面E:2x-3y+4z=4,平面外有兩點 (3,0,4)、B(11,8,14),若
PA+ + PB 最小,則P點坐標為
12.在一正四面體內,置一球P與正四面體的四個面均相切,若有一小球Q也在正四面體內,
且與正四面體的其中三個面相切,球Q也與球P外切,則球Q的半徑,與正四面體邊長
a的比值為

平面方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

11.
(先用幾何分析為什麼這樣算)
設A, B在E的正射影分別為M, N
則 AP²+BP²=AM²+MP²+NP²+BN²
其中 AM 和 BN 為定值
又 MP²+NP²=(MP+NP)²-2MP·NP
≥(MP+NP)²-2·[(MP+NP)/2]² (MP=NP時等號成立)
=(MP+NP)²/2
≥MN²/2 (MPN共線時等號成立)
也就是 當P為MN中點時
AP²+BP² 有最小值
而MN中點也是AB中點(7, -4, 9)在E的正射影點
----------------------分析結束-------------------
設 P(7+2t, -4-3t, 9+4t) 在 E 上
2(7+2t)-3(-4-3t)+4(9+4t)=4
29t=-58 → t=-2 → P(3, 2, 1)

12.
(若一正四面體邊長為s
則其高 (√6/3)s，內切球半徑(√6/12)s)
設與球Q相切的三個面共頂點A
由A作高與所對的面交於H_A
球P和球Q相切面E，M為其切點 (如圖)

沿著直線A H_A可畫出關係圖

平面E將原正四面體又切出小正四面體
且Q為其內切球
可求出小正四面體的高為
原正四面體的高 - 球P半徑 × 2 = (√6/6)a

再乘以內切球半徑和高的比例
得球Q半徑為 (√6/24)a

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