Question

Nちゃん

(2)の解説の矢印で示した部分の式変形がよくわかりません。どなたか解説していただけないでしょうか！🙏

958nが自然数のとき,数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
コ(1)
1+2+3++n=1/12/n(n+1)
口 (2) 1
(1-1/2)+(1/38-141)+(1/8/1/1)
-)+....
5 6
·+·
=
1
n+2
1
n+3
·+·
1
n+1
□ (3) 1・2+2.22 +3.2°+......+n2"=(n-1)2" +1+2
1
n+n
+ +
+
1
1
2n-1 2n
教p.38 例題

(2) (I)n=1のとき,
(①左)=1
2
1 1
(①の右辺)=
1+1 2
よって, ①は成り立つ。
=
(ⅡI)n=kのときの ①, すなわち,
(1-1/2) + (1 - 1) + ( + 1) + +(28-1-24)
- ·
3 4 5
6
2k
=
1
1
+
k+1 k+2
1
1
1
+
+
k+1 k+2 k+3
が成り立つと仮定する。
②を用いて,n=k+1のときの①の左辺を変形すると,
(1 - 12/2) + (-1/3 - 1/ ) + (-1/3 - 2/2 ) +
5
1
k+2
1
k+2
/12/2
+
1
+
-
+
・+・ +
1
2k-1
k+3
1
1
+
k+3 k+4
+
1
1
+
k+3 k+4
1
+
·+
1
k+k
+
+
(k+1)+1(k+1)+2
1
2k
+
1
・+ (k+1)+(k-1)
+
+
+
1
k+k
+
・+
1
2(k+1)-1
1
2k+1
1
k+k
1
(k+1)+3
1
k+k
+
+
L ++
1
(k+1)+k
1
2k+1
1
2k+1
2(k+1)」
+
1 U
1
2(k+1)
2(k+1)}
1
2(k+1)
1
+
よって, n=k+1のときも①が成り立つ。
(I), (II)より① はすべての自然数nについて成り立つ。
+
(k+1)+k(k+1)+(k+1)
仮定② を利用する。
1
E
E+3+1
+2+3+
:
de