Question

Romeo

這題我大概能猜出答案，但過程寫不出來🥹

x-y=3" 鸡豆货,ky
互質
2
n
求所有正整數解

好難 先猜再算 猜完然後寫不出過程

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

我找到一個引理：Lifting the Exponent
(直翻：上升指數)
詳情請找 Google

( (#)處代表從原式對3取餘數得知 )
這裡要用到：
設v(m)為m的質因數分解中3的次數
則有v(xᵏ+yᵏ)=v(x+y)+v(k) , (k為奇數,(#))

所以v(x+y)+v(k)=v(3ⁿ)=n
代回原式 xᵏ+yᵏ=3^[v(x+y)] × 3^[v(k)]≤(x+y)k
因式分解左式 (x+y)(xᵏ⁻¹-xᵏ⁻²y+xᵏ⁻³y²+⋯-xyᵏ⁻²+yᵏ⁻¹)≤(x+y)k
xᵏ⁻¹-xᵏ⁻²y+xᵏ⁻³y²-xᵏ⁻⁴y³+⋯+x²yᵏ⁻³-xyᵏ⁻²+yᵏ⁻¹≤k
不失普遍性，設x>y(#)，每相鄰兩項分組
x xᵏ⁻² - y xᵏ⁻² + x xᵏ⁻⁴y² - y xᵏ⁻⁴y² + ⋯ + x xyᵏ⁻³ - y xyᵏ⁻³ + yᵏ⁻¹
≤k
(x-y)(xᵏ⁻²+xᵏ⁻⁴y²+⋯+xyᵏ⁻³)+yᵏ⁻¹≤k
左式≥xᵏ⁻²，所以 xᵏ⁻²≤k
x≤k^[1/(k-2)]
k≥3, 又k^[1/(k-2)]在 ‘k≥3且k為奇數’ 為遞減
所以 x≤k^[1/(k-2)]≤3^[1/(3-2)]=3
又x不為3的倍數(#)
x≤2→(x,y)=(2,1)→k=3, n=2 (以及x,y交換)
若k≥5，則x≤5^⅓<2，則y無解

所以解得x=1,y=2,k=3,n=2或x=2,y=1,k=3,n=2

qn

作法來源：https://brilliant.org/wiki/lifting-the-exponent/

qn

關於 k^[1/(k-2)]在 ‘k≥3且k為奇數’ 遞減
原作法使用微分，也可以直接證明
欲證：k^[1/(k-2)]>(k+2)^[1/k]
⇔ k^k>(k+2)^(k-2)
⇔ k>(k+2)⁻²=1/(k+2)²
⇔ k(k+2)²>1
這對於 k≥3 顯然成立

然後再補一下，第2個(#)是要說x必不等於y，但從奇偶性就可以判斷了

Romeo

謝謝！