Question

yee~

求詳解
答案：（1）-2<ｍ<2（2）69/20

(1)在坐標平面上,已知函數y=x-x2-3x+3x的圖形和直線L:y=mx-m有
4個相異交點,求實數m的範圍
11.02 / MOAL
(2)若m > 0且函數y=x-x²−3x²+3x的圖形和直線L:y=mx-m相切,求
此時y=x-x²-3x²+3x的圖形和直線乙所圍成的區域面積。

Answer 1

spchick

覺得題目有趣就做做看
下圖是用勘根定理取範圍
用的判斷方法不一樣剛好可以放上來參考

Answer 2

qn

(1)
設 f(x) = x⁴ - x³ - 3x² + 3x
而 f(x) = x (x³-x²-3x+3)
= x (x-1)(x²-3)
= x(x-1)(x+√3)(x-√3)
可簡單畫出函數圖形， 如圖一

y = mx-m
可寫成 y = m(x-1)
是通過 (1, 0) 且斜率為 m 的直線

(參考圖二)
若這條直線與 y=f(x) 交於相異4點
可以觀察到
這條直線(綠線)必須在圖中兩條切線(紅線)之間
(但不能剛好相切)
所以我們可以先求出這兩條切線的斜率

斜率較大的紅色切線
與 y=f(x) 相切於左下方某一點
設切點是 (t, f(t))
( - √3 < t < 0 )
斜率 = f'(t) = [0-f(t)] / [1-t]

計算過程如圖三
求得 t = -1
此時斜率為 2
故 m < 2

斜率較小的紅色切線
斜率為 f'(1)
f'(1) = -2
故 m > -2

故求出 -2 < m < 2

(2)
此時 L 為 y = 2x-2
先求其與 y=f(x) 的交點

令 f(x) > 2x-2
⇒ x⁴ - x³ - 3x² + 3x > 2x - 2
⇒ x⁴ - x³ - 3x² + x + 2 > 0
⇒ (x+1)²(x-1)(x-2) > 0
⇒ x<-1 或 -1<x<1 或 x>2
(交點位於 x=-1, x=1, x=2)

在 -1 < x < 1 時，f(x) > 2x-2
在 1 < x < 2 時，f(x) < 2x-2

兩段分別積分，如圖四

相加得到
12/5 + 21/20 = 69/20