Question

Sandy

求解，謝謝

12.設正整數 x, y 滿足 ² + 3y 與y + 3 皆爲完全平方數,試求所有數對(x,y)=
6-x-²)(9-x)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

① 假設 y=x，則
x²+3x = k² 是完全平方數
x²+3x–k²=0
x = (–3 ± √9+4k²) / 2
因為 x 是正整數，表示 9+4k² 是完全平方數
而 9=3²，畢氏三元數中只有3,4,5這一組有出現3
（9+16=25）
故 k=2 ，此時 x = (–3±5)/2 = 1 或 –4(不合)
故 x=y 時只有一組解 (1,1)。

② y>x，那麼
(y+2)²=y²+4y+4 >y²+3x >y²
可以推測 y²+3x = (y+1)² = y²+2y+1
3x=2y+1，
得 y=(3x–1)/2

另一方面，x²+3y = x²+(9/2)x–3/2也是完全平方數，那麼
(x+3)²=x²+6x+9 >x²+(9/2)x–3/2 >x²
所以推測
x²+(9/2)x–3/2 = (x+2)²
或
x²+(9/2)x–3/2 = (x+1)²

分別解這兩個方程式，可得
x=11 或 16
即可分別得到
y=16 或 11
因為這裡假設 y>x，所以找到一組解是
(x,y)=(11,16)

③假設 x>y，仿照②的討論模式也可以找到
(x,y)=(16,11)。

一共有三組解：
(x,y)=(1,1), (11,16), (16,11)。

Sandy

謝謝