Question

ふぃり

数学得意な方お願いします。
点H(x,y,z)とおいては解けないのでしょうか？

$216 40(0, 0, 0), A(1, 2, 0), B(2, 0, -1), C(0, -2, 4)
を頂点とする四面体OABCについて考える。
頂点Oから平面ABC に垂線 OH を下ろしたとき, 点Hの座標
は
の面積は であり,四面体OABC の体積はである。
点の座標を(大y)とおり。
LIVOR. AB
00
OH の大きさはである。更に, △ABC
であり,
B
C
Off AB= 0 (X₁Y₁3) ^ ((, -2₁ -1) =
OR B²² = 0 (X1713) (-21-215)=0
OH² - CH²=
0
x - 2y = 3 = 0 (²0)
- 2x - 2y +53 = 0 14 0
tu
(X,Y,Z) · (~11~4141 = 0
TOEF
2:29:30
①+②で
-x+2g=0より
x - 42
- x - xy + 4 3 = 0" @
Lu
x - 3
2x+53=
17
0
0
③に代入して
-44=0
26= 0 ₁ Y = 0.3
1
?

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

希

内積が0となる3つの式は成り立ちますよ。
しかし、OHがABと垂直かつOHがBCと垂直のとき、OHは必ずCAと垂直になります。
(理由は、CAはABとBCを用いて表せるから)
なので、その連立方程式は実質3つの不明な文字と、2つの式しか与えられていないことになるので、
(0,0,0)という解になってしまいます。

この場合はHは平面ABC上にあることを利用して解くしかないです。

ふぃり

お手数おかけしました…なるほど原因まで分かって助かります😭
本当にありがとうございました！

Answer 2

u

①+②の式あってますか？

ふぃり

ごめんなさい①-②で3x-6z=0でx=2zね…それでもx,y,z=0,0,0になるので、この方法はやはり使えないのでしょうか？

u

(x,y,x)=(0,0,0)にはならないです。
x=2zを③に代入して4y=2zを得ます
これらからx=4y=2zを満たすすべての
x,y,zが解です。

よってy=tおくと、x=4t,z=2tであるから
(x,y,z)=(4t,t,2t)となりますこれは、
方向ベクトルv=(4,1,2)を用いて
OH=tvとなることを示してます。

ふぃりさんがたてた式ではOHとAB,BC,CAが直交してる事しか使っていないため、確かにこの連立で、OHがどのような向きのベクトルであれば直交するかは出せましたが、Hが面ABC上にあるという条件が抜けているため、長さを示すtは出ないわけです。

ふぃり

返信遅れました。この直交条件だけだと面ABCの条件が満たせてないの納得しました、、
なるほどtvを条件が成り立つようにすればHの座標も求められますね、詳しく説明ありがとうございます…！！
(↑すみません一個上x=2zですね…の誤字です、、)