Question

ねこ

この解答の仕方でも⭕️になりますか？
148の（2）、（3）です！

ev
□ 148m, nは整数とする。 次の命題を証明せよ。
mn が奇数ならば, m, nはともに奇数である。
m²+n²が奇数ならば, mn は偶数である。
(3) m²+n²が奇数ならば, m+nは奇数である。
(1)
(2)

(2) 対偶「a≧ろかつb≧2ならば、
a+5÷5である。」を証明する。
これは明らかに真であるから、
もとの命題も真である。
a≧ろかつb≧2のとき、不等式の
辺々を加えるとa+b≧5
よって、対偶は真であり、もとの命題
も真である。
148対偶「minのどちらかが偶数ならば、
mnは偶数である。」を証明する。
m=2k(kを整数)、n=2t+1(t整数)
とすると、
mn=2k(2t+1)
=4kt+2k
=2(2kt+k)
より、mnは偶数である。
よって、対偶が真だから、もとの
命題も真である。
(2)対偶「mnが奇数ならば、
m²th²は偶数である。」を証明する。
m=2k+1(kを整数)、
n=2t+1(tを整数)とすると、
m²+h² = (m+n) ²-2 (mn)
=(2k+1+2x+1)-2(2k+1)(2ct)
=(2k+2t+2)-2(4kt+2k+2㎝+1)
=2k+2t+2-8kt-4k-4t-2
=-8kt-2k-2t
2(-4kt-k-t)
より、mitr²は偶数。
よって、対偶が真だから、もとの
命題も真である。
(3) 対偶「mithが偶数ならば
m²tn²は偶数である。」を証明する
m=2k(kz整数)in=2t(t=整数)
mth=2k+20とすると、
m² + n² = (m+n) ²-2(mn)
=
(2k+2t)=2(24)(2t)
=4k48kt+4t²-8kt
= 4k²+4+³²
= 2 (2f²+2t²)
より、m²th²は偶数である。
よって、対偶が真だから、もとの
命題も真である。
150
149 (1) 対偶「raが有理数ならば、aは
正の有理数である。」と証明する。
ra=r(rは有理数)とすると、
a=rz
より、aは正の有理数である。
よって、対偶が真だから、もとの
命題も真である。
(2) 13-12=r(rは有理数)とすると、
13-12=12x16
V18-12=16r
3312-213
√6 =
すると、(無理数)=(有理数)となり務
よって、13-12は無理数である。

に矛
矛盾
[クリアー数学Ⅰ 問題148]
(1) 対偶「m,nの少なくとも一方が偶数ならば, mn は偶数である」 を証明する。
が偶数のとき, m はある整数kを用いてm=2k と表される。
このとき mn=2kn
knは整数であるから, mn は偶数である。
同様に,nが偶数のときも mn は偶数である。
よって, 対隅は真であり,もとの命題も真である。
(2) 対偶 「nが奇数ならば, m² +2 は偶数である」 を証明する。
mnが奇数のとき, (1) より, m, nはともに奇数である。
よって, ある整数 p, gを用いてm=2p+1, n=2g+1 と表される。
このとき m²+n²=(2p+1)+(2g+1)=(4p²+4p+1)+(4q²+4g+1)
=2(2p2+2g²+2p+2g+1)
2p2+2g²+2P+2g+1は整数であるから,m²+n2は偶数である。
よって,対隅は真であり、もとの命題も真である。
(3) 対偶「m+nが偶数ならば、m2 + m² は偶数である」を証明する。
m+nが偶数のとき, m+mはある整数1を用いて,m+n=21. と表される｡
このとき m²+n² = (m+n)²-2mn=(21)²-2mn=41²-2mn=2(21²-mn)
212-mnは整数であるから, m2+n2は偶数である。
よって, 対隅は真であり,もとの命題も真である。
別
は偶数である」 を証明する。
対偶「m+nが偶数ならば,m2+n2
m+nが偶数のとき, m, nはともに偶数か, ともに奇数かのどちらかである。
[1] m, n がともに偶数のとき
m, nはある整数α b を用いてm=2a, n=2と表される。
このとき m²+n²=(2a)²+(2b)²=2(2a²+26²)
242+262 は整数であるから, m² +2 は偶数である。
[2] m, n がともに奇数のとき
(2) より, m2+n は偶数である。
[1], [2] より 対偶は真であり、もとの命題も真である。
C
C
C
K
大
C
1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

希

(2)は大丈夫です。
(3)はm+nが偶数になるとき、mとnが共に偶数の場合と、mとnが共に奇数の場合があるので、
m=2a+1, n=2b+1(a, bは整数)のとき、
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn
=(2a+1+2b+1)^2-2(2a+1)(2b+1)
=(2a+2b+2)^2-2(2a+1)(2b+1)
=4(a+b+1)^2-2(2a+1)(2b+1)
=2{2(a+b+1)-(2a+1)(2b+1)}
{2(a+b+1)-(2a+1)(2b+1)}は整数なので
m^2+n^2は偶数

の場合もやらなくてはなりません。