Question

みみ

数３積分の問題です。（1）で具体的に面積のグラフを書いてイメージを掴みたいのですがどのようなグラフになるのかわからないです。

EX (1) 関数f(x) が区間 [0, 1] で連続な増加関数であって、常にf(x)≧0であるとする。 また, n
©212 を自然数とする。 このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
(1) k=1,2,
k-1
n
から
0 ≤ = 2 2 ƒ ( ²² ) - S; ƒ (x) dx = — - (ƒ(1)—ƒ(0)}
n k
n
(2) f(x)=log(1+x) に対して, (1) の結果を用いて次の極限値を求めよ。
lim (~—-108 (1 + / -)(1 + 2 ) --- 1 + 2 )}) |__
log
n
n
n
n
nのとき
k-
ƒ (^-¹) =/(x)=√( 1 )
n
k-1
k
x=1のとき、f(x) は区間 [0,1]で増加関数である30
n
n
k
k-1
n
k
k
k-1
*₂ S (R-¹) dx = S(x) dx = √ * _ 1 √ ( 12 ) dx
k-1
n
n
n
n
n
0≤-
= = ≤1
n
k
n = { 1 + 1) yol 2 = x²
k
k
k
n
n
**E √(-¹)dx=√(x) dx = s( #), dx
ゆえに
n
n
n
[類 高知大〕
k≤ n = 1
n=1
n
n
Rof
y=f(x)
0 k-1 k
n
n
12
n
x

x3
336-
一数学Ⅲ
よって
192K= 1/(*=¹) ≤ 2
ゆえに
k=1
よって
@ S² / (x) dx = 1 + 2 √ ( 1 ) * 5
nk=1
n
0 = 1 / 22 / ( # 1 ) - S. f (x) dx ... ℗
k
1 - ₁ ( k = ¹ ) = √ ^ _ , f(x) dx = -1/2 √ ( )
22
#2. © 0 ¹ 2/(*=¹) ≤S'ƒ(x) dx tb
また、①の
から
n k=1
k
f(x) dx = 2 (#)
k=1 n
(1) Sof(x)dx=1/11 (1)
n
lim
n-00
12 (#) - Sf(x) dx = 12 (²)-1
n k=
n k=1
n k=1
= = {( ( ² ) - ( )} ·
---(/(1)-ƒ(0)} (3)
log2
n
よって
Ⓡ. ® 0≤ 1/2 √ ( ² ) - Sf(x) dx = = = {(f(1)-f(0)}
n k=1
n
(2) f(x)=log(1+x) は区間 [0, 1] で連続な増加関数であり,
f(x) ≧0であるから, (1) の結果より)とする
0= = 2 ( 1 ) - f(x)dx==11og2
0≤
n k=1
tbt lim ¹ (#2) - S₁ f(x) dx
すなわち
n→∞ n k=1
ここで
( 210g(1+/分)
=
......
²=0C35 lim{1+2√( ² ) - Sf(x) dx} = 0
=0であるから
=0
n k=1 n
(1)
- () ---
(²-¹)
(a) = f(x)dx=Slog (1+x) dx
=log {(1+1)(1+²)(1+2)}
lim ( 1/10g {(1 + 1)(1+²)....(1 + H)}}
-log
n→∞ n
bl
← Sdx-[x] - -
n
1+x
←ア で k=1,2 ...., n
とおいたものを辺々加え
る。
72,0mil2 11
® 2 √ ( ² ) - 2 √ (²-¹)
-{(²)-(²)
+ {√( ^_^) - √(^= ²)}
+ ( )= (-²)}
+
←f(1) = log2, f(0)=0
← はさみうちの原理。
←区分求積法による定積
X
分の表現。
sise
←flog (1+x) dx
=[(1+x)log (1+x)]-(1+x). 11(x)\\ |= S(1+x) log (1+x) dx
dx
= 2log 2-[x]
= 2log 2-1
log A+log B=log AB